史立峰
[摘 要]数学思想方法是数学的灵魂。以“梯形的面积”教学为例，探讨化归思想在小学数学课堂教学中的渗透，以使学生感悟化归思想方法的真谛，从而将其内化到已有的认知系统之中。
[关键词]化归思想;小学数学;梯形的面积
[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）08-0064-02
小学数学教学中，教师不能仅满足于使学生掌握基本的数学知识，更要引导学生感悟数学思想方法，从而启迪学生的数学智慧，发展学生的数学思维。化归思想作为一种重要的数学思想方法，教师应在教材中充分挖掘，并在教学中有意识地进行渗透，以提高学生分析问题和解决问题的能力。下面以“梯形的面积”教学为例，探讨如何在小学数学课堂教学中渗透化归思想。
一、沟通联系，体验化归思想
“梯形的面积”是学生在掌握了长方形的面积、正方形的面积、平行四边形的面积以及三角形的面积的基础上展开学习的，学生对化归思想已有一定的认识。另外，学生今后还将在组合图形的面积、圆的面积等知识中再次应用化归思想，因此，“梯形的面积”处在一个承上启下的关键位置，需要教师结合学生认知经验，沟通知识联系，增强学生对化归思想的再认识。
【教学片段】
师：请回忆一下，我们是如何推导出平行四边形的面积公式的？
生1：把平行四边形转化为已经学过的长方形。
师：我们又是如何推导出三角形的面积公式的？
生2：把三角形转化为已经学过的平行四边形。
师：这种把未知转化为已知的思想，在数学上就叫作化归思想。
师：在现实生活中，我们还会遇到另一种平面图形——梯形。图1是一个水坝的横截面，它是一个梯形。你能求出这个水坝横截面的面积是多少平方米吗？
生3：可以把梯形转化成我们学过的图形。
生4：搞清楚转化前后两个图形的关系是关键。
……
通过回顾旧知，激活学生已有的认知经验，沟通知识之间的内在联系，突出新旧知识在研究方法上的相通之处，使学生初步感知化归思想，从而为本节课的教学亮明主题，奠定基调。同时，通过计算水坝的面积问题导入梯形的面积，既激发了学生的学习兴趣，又使学生感受到学好新知的重要性。
二、自主探究，感悟化归思想
在学生初步感知化归思想的基础上，教师不但要引导学生通过自主探索的过程感悟化归思想，还要引导学生多维度进行探究。数学问题的解决往往有多种不同的途径，学生在尝试采用不同的方法进行探究的过程中，就能提升探究能力，提升对数学化归思想的认识。最后，教师要注意对探究过程的调控，及时解决学生在探究过程中提出的问题，从而提高学生自主探究的实效性。
【教学片段】
师：现在请小组长拿出小组的学具袋，看看里面都准备了哪些学具。
生1：有很多梯形，有一般梯形、直角梯形，还有等腰梯形。
师：现在就请利用这些学具，发挥想象力，把手中的梯形转化为学过的已知图形吧！注意两个问题：新图形与原图形之间有什幺关联？如何通过这种关联推导出梯形的面积公式？
生2：我们小组把两个完全相同的梯形拼接成了一个平行四边形（如图2）。梯形面积是平行四边形面积的一半，因为这个平行四边形是由两个完全相同的梯形拼成的。
师：如何通过这种关联推导出梯形的面积公式呢？
生3：梯形的上底和下底加起来刚好是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。因此，梯形的面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。
师：就像三角形的面积公式的推导过程一样，把两个完全一样的梯形拼接成平行四边形，由此实现化未知为已知的目的，这就是化归思想的精髓。
生4：我们用的是两个完全相同的直角梯形，它们可以拼成一个长方形（如图3）。
生5：梯形的面积是长方形的面积的一半，梯形的上底和下底加起来刚好是长方形的长，梯形的高就是长方形的宽。因此，梯形的面积=长方形面积÷2=长×宽÷2=（上底+下底）×高÷2。
师：这种方法和生3的方法本质上是一致的，它的核心思路就是把梯形转化为我们学过的图形（平行四边形或长方形），并从新图形和原图形之间的面积关系推导出梯形的面积公式。
生6：我们只用了一个梯形。采用割补法，沿着梯形两个腰的中间位置剪开，这样一个梯形就变成了两个梯形，然后把这两个梯形拼成一个平行四边形。（如图4）
师：新图形和原图形有什幺关系呢？
生7：面积相等。梯形的上底和下底加起来刚好是平行四边形的底，平行四边形的高是梯形的高的一半。因此，梯形的面积=平行四边形的面积=底×高=（上底+下底）×（高÷2），也就是（上底+下底）×高÷2。
师：这种方法把一个梯形切割成两个梯形，然后再把这两个梯形拼接成平行四边形，其中同样蕴含着化归的数学思想。
生8：我们组也是只用了一个梯形就推导出了梯形的面积公式。把一个梯形切割成两个三角形（三角形1和三角形2）（如图5），梯形的面积等于两个三角形的面积之和。其中，三角形1的底是梯形的下底，它的高就是梯形的高;三角形2的底是梯形的上底，它的高也是梯形的高。梯形的面积=三角形1的面积+三角形2的面积=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。
生9：这个方法真奇妙呀！
生10：推导过程的最后一步用到了乘法分配律。
师：这种把梯形转化成了三角形的方法，也体现了化归的数学思想。
师：如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那幺梯形的面积公式就可以写成S=（a+b）×h÷2。
无论是把梯形转化成平行四边形、长方形，抑或是三角形，都体现了化复杂为简单、化未知为已知的基本思想，而这就是数学化归思想的精髓。从用两个梯形拼的一般方法，到一个梯形的割补法，多维呈现的方式使学生更加深刻地认识到知识的本质，体会到化归思想的内涵。在教师问题的引导下，学生的探究基本上分为三大步，先操作拼接，再探索关联，最后归纳公式，这就使得学生的探究活动具有明确的目的性，使课堂教学真实而高效。
三、解决问题，应用化归思想
现实生活中的一些问题，如果按照常规思路解答会非常棘手，但采取化归思想把复杂的问题变成简单的问题，就可以降低解决问题的难度，提升学生对数学思想的应用意识。
【教学片段】
师：淘气来到了一个木器加工厂，他看到了一大堆圆木（如图6），你能帮淘气算一算，这一共是多少根圆木吗？
生1：圆木的数量不算很多，我数了数，一共是33根。
师：这种直接数数的方法有什幺缺点呢？
生2：比较麻烦，而且容易重复或者遗漏。
生3：如果圆木的数量很多，那这种方法就“不灵”了。
师：大家有什幺好办法吗？这些圆木堆成了一个什幺图形？
生4：我看出来了，这些圆木堆成了一个梯形。
生5：把最上层的3根看作梯形的上底，把最下层的8根看作梯形的下底，把共有6层看作梯形的高，然后根据梯形的面积公式可以得（3+8）×6÷2=33（根）。
生6：这个方法真巧妙呀！
师：这道题依然使用了化归的数学思想。在生活中有很多问题都需要用到化归思想，大家可要注意观察，做到学以致用呀！
引导学生运用化归思想方法解决现实生活中的问题，不但在数学与生活中搭建起桥梁，还提升了学生解决实际问题的能力，凸显了数学化归思想方法的应用价值。
如果说数学概念、原理等知识是贯穿数学教学的一条“明线”，那数学思想方法则是贯穿数学教学的一条“暗线”。在数学教学中，教师要深入挖掘教材中蕴含的数学思想方法，渗透数学思想，让学生逐渐感悟数学思想方法的真谛，从而将数学思想方法填补到已有的认知系统之中。
（责编 童 夏）
