冯刚
[摘 要]选取苏教版与加州版小学数学教材，从类型、呈现顺序、呈现方式、情境四个维度比较乘除法实际问题的相关单元。从乘除法实际问题的类型看，等组问题在两版教材中均占比最高，苏教版教材未出现参照量未知问题，加州版教材未出现关系量未知问题。从乘除法实际问题的呈现顺序看，苏教版教材先呈现份数未知问题，再呈现每份数未知问题，加州版教材与之相反;苏教版教材先呈现关系量未知问题，加州版教材先呈现比较量未知问题。从乘除法实际问题的呈现方式看，苏教版教材中图文题与表格题占比较高，加州版教材纯语言文字题及图文题占比较高。从乘除法实际问题的情境看，个人生活情境在苏教版教材中占比最高，公共常识情境在加州版教材中占比最高，关于科学情境的实际问题，两个版本都较少涉及。
[关键词]乘除法;实际问题;苏教版教材;加州版教材;比较
[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0023-03
教材是落实课程目标、实施课堂教学的蓝本，在教学中发挥着举足轻重的作用。本文选用时下在中美两国使用较广泛的一种教材，即中国苏教版小学数学教材（以下简称“苏教版教材”）和美国加州小学数学教材（以下简称“加州版教材”），就其中乘除法实际问题的编写特点进行比较，发现两国教材编写的差异，寻找两种教材提供的不同“机会”，以期为我国教材的编写、课程资源的开发及教学实践提供参考。
一、研究方法
本研究从四个维度，即类型、呈现顺序、呈现方式和情境，对苏教版和加州版两种教材中的乘除法实际问题进行比较。所研究的乘除法实际问题主要是“1～10的乘法实际问题”和“被除数在100以内的除法实际问题”。所有的实际问题均是一步计算的整数实际问题，不包括分数和小数，也不包括有余数的乘除法实际问题。
（一）乘除法实际问题的类型
乘除法实际问题主要分为等组问题和乘除法比较题。等组问题描述了等组的数量，根据未知数的位置，分为三种变式：积未知（如：5个小朋友折千纸鹤，每人折了3只，一共折了多少只？）;每份数未知（如：一共有15只千纸鹤，平均分给5个小朋友，每人分得多少只？）;份数未知（如：一共有15只千纸鹤，每人分3只，可以分给几个人？）。乘除法比较题是对一个量（比较量）与另一个量（参照量）的比较，进而描述一个量是另一个量的几倍或几分之几（关系量）。根据未知量的位置，乘除法比较题分为三种变式：比较量未知（如：小明有3本故事书，小芳的故事书数量是小明的6倍，小芳有多少本故事书？）;参照量未知（如：小明有18本故事书，是小芳的故事书数量的6倍，小芳有多少本故事书？）;关系量未知（如：小明有18本故事书，小芳有3本故事书，小明的故事书数量是小芳的多少倍？）。
简言之，乘除法实际问题按类型分有两种，即等组问题和乘除法比较题。其中，等组问题根据未知数的位置分为积未知、每份数未知和份数未知三种类型;乘除法比较题按未知量的位置分，又有比较量未知、参照量未知和关系量未知三种类型。本文主要研究每种类型的乘除法实际问题出现的次数和频率，从而探究不同教材为学生提供的“学习机会”的差异。
（二）乘除法实际问题的呈现顺序
从乘除法实际问题的类型出发，分别研究两种教材中的等组问题和乘除法比较题出现的先后顺序，发现两种教材乘除法实际问题类型出现顺序上的差异。
（三）乘除法实际问题的呈现方式
呈现方式主要分为纯文字题、图文题、表格题和其他类型四种。其中图文题是指包含图形与文字的实际问题，也包括有插图的文字实际问题;其他类型是指无法囊括在前三种类型里的实际问题。研究两种教材的乘除法实际问题在不同呈现方式上的频率，探究哪种呈现方式运用最广泛。
（四）乘除法实际问题的情境
鲍建生将数学问题“背景”分为四个层次：最低层次是“无背景”，即无任何实际应用背景;第二层次是“个人生活”，指与学生个人生活相关的背景;第三层次是“公共常识”，属于某个职业领域，或社会公共常识背景;最高层次是“科学情景”，包含科学实验的过程及一定的科学知识。本文参考鲍建生的分类，将实际问题情境分为个人生活情境、公共常识情境和科学情境三种，探究这三种情境在两种教材中的运用情况。
二、研究结果
（一）乘除法实际问题的类型
笔者统计了苏教版教材和加州版教材中，六种实际问题出现的次数和频率，如表1。
1.等组问题
在苏教版教材中，等组问题占总数的84.2%，其中积未知问题最多，占总数的39.4%，每份数未知和份数未知问题的出现频率无明显差距。而在加州版教材中，等组问题占总数的98.0%，明显高于苏教版教材，其中积未知问题占总数的62.6%，比苏教版教材高了23.2%，另两种类型则是比苏教版教材略少一些，差异都在5%左右。就两种教材的等组问题的出现次数来看，加州版教材有459道，苏教版教材只有186道，远远少于加州版教材的数量。
2.乘除法比较题
对于乘除法比较题，苏教版教材中比较量未知题和关系量未知题频率相近，而参照量未知题没有出现，整个乘除法比较题在苏教版教材中占比为15.8%。在加州版教材中，乘除法比较题只占了1.9%，明显低于苏教版教材。此外，加州版教材的几个章节中没有出现关系量未知的题目，比较量未知和参照量未知的题目也极少出现。相较而言，苏教版教材的乘除法比较题多于加州版教材的，但苏教版教材中没有出现参照量未知的题目。
3.等组与乘除法比较题
对两种教材两大类型的问题出现次数、频率进行比较，可以发现：在这两个版本的教材中，等组问题无论是次数还是频率都远远大于乘除法比较题。其中加州版教材中等组问题的占比为98.0%，苏教版教材中等组问题的占比为84.2%，都占据了总数的绝大部分;而乘除法比较题很少出现，对于加州版教材来说，几乎是没有出现。
（二）乘除法实际问题的呈现顺序
进一步分析两种教材中六种实际问题呈现顺序的差异，如表2。
从上表可以看出，苏教版教材和加州版教材在六种类型的实际问题呈现顺序上存在着巨大差异。对于等组问题，尽管两种教材都先呈现了积未知问题，但苏教版教材是先呈现份数未知问题，再呈现每份数未知问题;而加州版教材则完全相反，先呈现每份数未知问题，再呈现份数未知问题。
对于乘除法比较题，两者也存在差异。苏教版教材先呈现关系量未知问题，也就是求“倍数”问题;而加州版教材先呈现的是比较量未知问题，也就是已知标准量和倍数，求比较量的问题，形式类似于积未知问题。
（三）乘除法实际问题的呈现方式
就苏教版教材的221道和加州版教材的468道乘除法实际问题的呈现方式进行分类统计，得到苏教版教材和加州版教材四种问题类型的频率分布情况，如表3。
由上表可以看出，苏教版教材的乘除法实际问题以图文题为主，占了总数的73.8%，处于绝对优势。加州版教材最多的却是纯文字题，占了总数的46.6%。在苏教版教材中，排第二的是表格题，纯文字题与其他类型题目并列第三位，所占的比例都比较小，只有8.1%，这与加州版教材形成了鲜明对比。可以说，在加州教材中出现频率最高的题型，到了苏教版教材中，却成了出现频率最低的题型。不过，加州版教材中的表格题倒是与苏教版教材出现的频率相近，仅相差0.6%。而苏教版教材中出现最多的图文题，在加州版教材中仅占总数的40.0%，这一点也体现了两种教材的差异性。
（四）乘除法实际问题的情境
本文对实际问题的三种情境做了定量研究与统计，具体的研究结果如表4。
分析比较后不难得出：个人生活情境在苏教版教材中出现得最多，占60.2%，而此项在加州版教材中仅占44.4%;公共常识情境在加州版教材中占52.4%，在苏教版教材中仅占38.9%;科学情境的实际问题，苏教版教材很少涉及，只有0.9%，加州版教材相对来说关注得多一些，占了3.2%。
三、研究结论与启示
（一）乘除法实际问题的类型
两种教材的等组问题的比例都远超乘除法比较题的比例。加州版教材中几乎没有乘除法比较题，仅有的几道也是零散的，甚至可以将其全部归为等组问题。由于乘除法比较题的难度大于等组问题，因而在小学特别是低年级阶段，等组问题占据绝对数量。
从出现次数来看，加州版教材的积未知问题占据了绝对主导地位，其他类型的问题相对较少。从类型的均匀程度看，加州版教材实际问题的类型分布不如苏教版教材。因而从这个角度来说，苏教版教材给学生提供了更多的“机会”，使他们更容易接触到不同类型的实际问题，进而进行知识的理解与迁移。
（二）乘除法实际问题的呈现顺序
苏教版教材先呈现份数未知问题，而加州版教材先呈现每份数未知问题。苏教版教材先教学“平均分”——每份分得同样多，由此自然而然地引出份数未知问题。而加州版教材是把除法当作一种分配手段，认为除法是两个数之间的一种运算，一个数告诉你有多少东西，另一个数告诉你构成每个相同组需要多少东西。根据这个理念， 加州版教材先呈现每份数未知问题，再呈现份数未知问题。这就很好地揭示了两种教材在等组问题呈现顺序出现差异的主要原因：对除法概念的理解不同。
可以发现，苏教版教材的呈现顺序更好一些。加州版教材将除法看作两个数之间的一种运算，对除法定义的理解过于抽象。苏教版教材先引出份数未知问题，抓住平均分这一学生已有的知识经验，强调“每份分得一样多”，基于此继续学习每份数未知问题，符合学生的认知规律。
（三）乘除法实际问题的呈现方式
两种教材呈现方式差异最显着的是纯文字题和图文题。在加州版教材中，纯文字题占据最大的比例，但在苏教版教材中，这一题型却是出现最少的，两者的差异达到了38.5%。苏教版教材中的图文题数量占了整个实际问题数量的73.8%，以绝对优势超过了加州版教材的40.0%。也就是说，加州版教材的图文题比例大约仅是苏教版教材的一半。
加州版教材实际问题的总数远远超过了苏教版教材，而教材的篇幅毕竟有限，图文题过多，也容易导致教学内容偏少，华而不实，因此相应的纯文字题就较多。而苏教版教材大多数为图文题，应该是教材编写者考虑到低年级学生的抽象逻辑思维尚未发展，解决实际问题仍需要通过大量的具象图来协助，故而在教材的大部分实际问题中都配了插图，以帮助学生更好地理解实际问题表达的含义，从直观的角度利用乘除法运算解决实际问题。
再从不同呈现方式的特点来看，纯文字题相较于其他类型的题过于抽象，而图文题利用图片将抽象的文字信息转化为生动的图像，有助于学生更好地理解题意。因此，苏教版教材配备了大量的图文题，特别适合低年级学生;表格题形式简单，让人对要解决的问题一目了然。综合这几个方面，苏教版教材的呈现方式更适合学生进行数学学习。
（四）乘除法实际问题的情境
在本文对实际问题情境的分类统计研究中，加州版教材较苏教版教材更关注社会公共常识，加州版教材占52.4%，苏教版教材仅占38.9%，加州版教材为学生的社会化提供了更好的“机会”。加州版教材中个人生活情境相对较少，占44.4%，而苏教版教材更注重联系生活，个人生活情境占据60.2%。根据两国的课程标准要求和文化背景可以推断出现这种现象的原因：加州版教材倾向于将数学学习与社会生活相联系，教材中常常出现一些社会专职工作，如乐队、医生等，这与美国注重培养公民的科学探究精神和责任意识有关;苏教版教材更注重将数学学习与生活相联系，提出的问题大多是买文具一类的实际生活问题，这与新课程标准提出的“将数学寓于生活，在生活中学数学”有关。另外，两种教材对科学情境的涉及都比较少的情况与本研究调查的是小学数学教材有一定关系。
从以上三种情境的作用来看，个人生活情境有利于学生将数学学习与已有的知识经验相联系，公共常识情境有利于提高学生的社会交往和社会适应能力。就这两点而言，苏教版教材和加州版教材各有千秋，二者可以相互借鉴。
[ 参 考 文 献 ]
忻燕苹，郭兆明，刘佳.乘除法关系课程单元的跨文化比较[C]//北京师范大学.首届华人数学教育会议论文集.北京：北京师范大学基础教育课程研究中心，2014.
（责编 吴美玲）
