吴胜男
[摘 要]要深入理解分数与小数的互化法则以及无限循环小数，就要探明其背后的换算规律，只有从进制上联通，才能做到融会贯通。
[关键词]小数;分数;无限循环小数;本质
[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）23-0048-02
随着课改的持续推进，教师对教学有了更深入、更独到的体会。“把握数学本质是一切教法始终不变的宗旨”“数学内容本身蕴含着无穷变化的教法”。因此，教师应关注教学内容本身，注重探查数学本质。
对于小数本质的探寻，一直是小学数学教学的热门话题。以下是笔者整理的教学心得，以期能够抛砖引玉。
一、学习基础方面
通用进制分数（十进制分数）是指“分母是整一十整一百……的分数，也就是分母为10[n]（n为正整数）的所有分数”，事实上，但凡分母能够通分成10[n]（n为正整数）的特殊分数，也可转化成通用进制分数（如[25=410]，[18=1251000]）。因此，在判别通用进制分数的时候，需要多留心。
那幺，为什幺要定义通用进制分数呢？因为小学数学一开始提到的数就是十进制数，这是引入通用进制分数的主因。显然，自然数与通用进制分数都严格遵守十进制的进位法则，自然数的学习打开了十进制的“大门”，也为学习通用进制分数打下理论基础，前后一脉相承，并为小数换算成分数提供了理论支持，即有限小数化成分数就是直接化成分母是10、100、1000……的分数。而且，可以利用日常生活中的十进制长度单位“米、分米、厘米”，人民币币值单位“元、角、分”来揭示小数的意义。
在数学发展史中，“结构变异”是数学技术得以创新的不竭动力，横式与竖式的演变转换为这种“技术”积累了大量的经验。因此，先在分数中分离出“通用进制分数”，并借助“结构变异”技术，打通不同数域之间的壁垒，再将分数形式的“通用进制分数”转换成非分数形式的“小数”，也就水到渠成了。
不言而喻，对于小学生而言，要彻底理解“通用进制分数”与小数之间的关系，但是不理解有限小数（无限小数）的概念，缺乏分析能力是办不到的。因此，教材不要求学生沟通“通用进制分数”与小数之间的对等关系，情有可原。
二、变换进制方面
小学生一般会在同一个进制下研究数论。但是，在分数与小数单元，编者似乎忽略了分数与小数互化是进制在起纽带和桥梁的作用，分数的内容只是聚焦于将一个整体平分，很少将总分数与进制联系起来。
显然，在十进制下，把“单位1”平分成10份、100份、1000份……取其中任意份数，都可以用分母是10、100、1000的通用进制分数表示，如平均分成1000份，取其中的235份，写成通用分数就是[2351000]，分子恰好是取的份数，此时，小数的小数部分也刚好是分子（选取的份数），如上述分数，分子是235，那幺化成小数（0.235）后的小数部分就是235。反之，对任意一个纯小数（如0.37），也可以直接将小数部分的数字原封不动地挪作分子（分子为37），而将分母定为比分子（选取的份数）高一位的首位为1尾数全部为0的数作为分母（[37100]）。这样一来，小数化成分数就十分便利。
在现行的课本中，十进制一统天下，可以通过除法将三进制下的分数[13]转化成十进制下的小数0.333333……，即[13]=1÷3=0.3333（[ 333333……1000000……]）。显然，这样换算是在两种进制之间切换。
然而，在分数教学中，把整体“1”平分成3份，其中的一份就构成一个新的计数单位“[13]”，这样的三份加起来，就凑成更高一级的计数单位“1”。这显然与三进制运算机制吻合。这样就容易理解如何把三进制分数改写成小数。
因此，在同一进制下，小数就是“去分母化”后的特殊分数，而且所有的分数在相应进制下都可以写成小数部分唯一确定的数（有限小数），循环小数则是不同进制分数互化的产物。
三、除法运算方面
教材在小数除法运算之后推出了“循环小数”这个概念，并给“循环小数”下了确切的定义：“一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。”显然，例题中的除法算式的商是没有分母的小数（400÷75=5.33……），原因有二：一是定义中出现了“这样的小数叫作循环小数”的语句，明确指出是小数;二是这个数形式上与之前由通用进制分数改写而来的去分母化的特异分数如出一辙，都包含有“小数点”。从直观上，学生很容易区分分数和小数，但也容易割裂分数和小数之间的联系，使人容易忽略同一进制这一本质属性，从而造成学生只从表面形式上来认定与理解何为小数，而没有从内在构成的机理上来认识小数。因此，有必要将小数与分数从进制上辩证统一起来，将小数视为去分母化的特异分数。
小学数学教材第十册出现了“分数与除法”相关内容，这样一来，学生又会掌握一项将分数（任意进制下的分数）改写成去分母化的特异分数（十进制下的小数）的技能，即借助除法运算，用“分数的分子”除以“分数的分母”来将一个任意进制下的分数（如[18]，八进制下的“0.1”）改写成十进制下去分母化后的特异分数（1÷8=0.125，刚好整除），如果恢复成十进制下的带分母的分数，就是[1251000]，这也是一个通用进制分数;如果是[17]（七进制下的“0.1”），那幺同样利用除法运算可以将其转化成十进制下去分母化后的特异分数（1÷7=0.142857142857……，无法整除），如果要将它恢复成通用进制分数，就是[142857……1000000……]。这样一来学生就在除法运算中不断感知除法运算结果的有限（小数）与无限（循环小数）。
然而，教材并没有要求学生不断辨析有限小数和无限循环小数的异同。因此，无论是教师还是学生，就会自动放弃去研究“小数”是否都源自“通用进制分数”。那幺，用除法运算将一个数变换成十进制下去分母化的特异分数（通俗意义上的小数），究竟蕴含着怎样的算术机制？事实上，我们所说的除法运算，都是十进制下的除法运算。显然，0.1（1÷10）和0.333……（1÷3）都是十进制下除法运算的结果，因此，0.1或0.333……都是十进制下的小数。然而，“[110]”的分数单位正好满足十进制，和整数计数单位的进制高度一致，而“[13]”的分数单位却脱离十进制，进入三进制。因此，除法运算的作用相当于将三进制下的“分数”（如[13]）转化成十进制下的“去分母化后的特异分数”（如0.3333……）。
（责编 罗 艳）
