濮磊
摘 要：几何作图是融合了观察、分析、构思、判断的思维活动，新课标提高了对初中阶段几何作图的要求，与此相应，对作图题的命制也应有所改观.以一道作图压轴题的命制为例，基于对命题思路的解读，阐述了可用于当前考试的作图题命题策略，分为：深度理清教材线索，恰当把握命题主线；合理兼顾各类作图，着力凸显殊途同归；递进设计作法推理，充分关注执果索因；适度开展差异赋分，分层评价逻辑水平；全面考察作图思维，创新引导几何探究.
关键词：几何作图；新课标；命题策略
几何作图是发展学生几何直观能力和推理能力的重要载体.在解决作图问题的过程中，学生除了可以感悟到数学的严谨性，还能逐步体会数学的本质、形成学科基本观念［1］.为此，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“新课标”）提高了对初中阶段几何作图的要求，提出了“通过尺规作图等直观操作方法，理解平面图形的性质与关系”“经历作图的过程”“理解作图的基本原理与方法”等表述［2］，希望教师能够引导学生经历构思图形、设计流程、作图验证的过程［3］.
事实上，初中阶段的几何作图不仅包含基于演绎几何的尺规作图，还有大量基于实验几何的操作性作图，如方格纸中的作图和折纸活动等，它们同样承载着发展学生几何作图能力的功能.为了落实新课标的相关要求、发挥几何作图的育人价值，将作图原理和方法融为一体是可行的方向［4］.本着评价引领教学的想法，笔者在近期的全区七年级下学期期中考试中命制了如下压轴题，希冀能通过对同一目标下不同类型几何作图“一图多法”的考查，引导学生感悟作图原理的“多法归一”.
1 试题呈现
平行的思考.
【画平行】
（1） 在如图1所示的方格纸中，过点P画直线l1，使得l1∥AB.（限用没有刻度的直尺）
【说平行】
（2） 说明（1）中所画l1∥AB的理由.
【作平行】
（3） 如图2，过P作l2∥AB.（限用圆规和没有刻度的直尺，保留作图痕迹，不必写出作法和理由）
【折平行】
现有一张长方形纸片ABCD，小明和小丽分别折平行线.
小明：如图3，折出BD，展平后再折叠纸片，使点A、C分别落在BD所在直线上的点A′、C′处，展平纸片，得到折痕BM、DN.
小丽：如图4，将边MC折至MC′处，再将边AD折至A′D′处，使得MC′和A′D′在一条直线上，展平纸片，得到折痕MN、EF.
【证平行】
（4） 小明发现BM∥DN，小丽发现MN∥EF.请你选择一个证明.
（选择小明的，全部正确得2分；选择小丽的，全部正确得4分）
2 命题思路解读
从题目本身来看，本题既响应了新课标倡导的基于图形性质或关系作图的导向，又落实了新课标对几何作图基本原理和方法的强调，从学生熟悉的方格纸内画图入手，依次通过“画—说—作—折—证”五个环环相扣的活动，引导学生体验、发现并逐步确认作图的原理，从合理性的角度运用学过的几何知识解释图形之所以成立的原因.其中，“说”的活动需要学生从图形变化的角度给出l1∥AB的理由，看似淡化了证明，但却从合情推理的角度加强了对学生几何变换理解程度的考查.“折”的活动需要学生根据文字描述领会折纸的步骤，借助折纸过程于手中或头脑里的再现，探索边角之间的关系.“证”的活动尊重七年级学生逻辑推理能力的差异，允许不同学生选取适合自己的折法进行论证，支持学生在自己的能力范围内深度理解作图的道理.
从学生作答的典型表现来看，本题的解答过程能够较全面引导学生发挥自己的几何作图能力，利用日常学习时发展出的几何直觉在画图与说理活动的不断更迭中，从合情推理过渡到演绎论证，逐步深入对两直线平行的认识.在“说”的活动中，学生基于对方格纸中线线关系的判断和平移性质的应用，从点的平移、线的平移或形的平移给出对l1∥AB的合理解释（如图1、2、3）.在“证”的活动中，大部分学生能够根据自己对两个折纸活动背后道理的理解，选择一个自己认为能胜任的发现开展论证，但不少选择证明小丽发现的学生对于自己给出的证明持有怀疑态度.
总地来说，本题通过不同类型的作图体验、不同方式的说理论证，考查了“作平行”的不同变式和“验平行”的不同角度，旨在系统洞悉学生对同一目标下几何作图不同方法和基本原理的掌握情况，力求经由有序编排的作图与论证活动，在作图方法与作图原理的不断融通中，引导学生“用数学的眼光看，用数学的思维想，用数学的语言说”.
3 基于新课标的作图题命题策略思考
几何作图通过图形语言将几何思维外化，是融合了观察、分析、构思、判断的思维活动，目标明确、聚焦过程、注重具体操作的可行性与合理性.由此，几何作图试题理应引导学生先借助几何直观开展逻辑分析，再以目标导向的方式构建图形，进而经由演绎推理实施论证，是一个逐步知法明理的过程.但是，新课标颁布以前，无论是否使用尺规的几何作图，都常常沦为了对画图步骤或基本作图的识记与再现，难以发挥该活动的理性价值.为了落实新课标的精神，需要从试题的命制入手，利用评价对教学的导向作用，改进作图题的设计方式.结合上文，可行的策略如下.
3.1 深度理清教材线索，恰当把握命题主线
前述试题的形成始于一张被学生折了又折后丢弃在走廊上的纸.当仔细研究纸上的折痕时，笔者“模糊地”发现了折痕中藏着的重合与平行关系.在查阅新课标中关于折纸和尺规作图的内容要求后，研读苏科版教材时，笔者发现：《平行》在教材七上第六章6.4中第一次出现，其教学目标是“会用直尺和三角尺、方格纸画平行线，并在操作、思考活动中探索平行线的基本性质”；之后的“数学实验室”栏目呈现了方格纸画平行线的内容，但此时没有提及平行的理由；七下第一章是对七上第六章的延续和提高，要求学生探索直线平行的条件和平行线的性质，通过具体实例认识平移并探索平移的基本性质，但缺失了性质得到之后的再次论证过程.不难发现，教材依次呈现了方格纸、尺规和折纸三种类型的平行线作图，对平行性质的编排是逐步从操作验证到说理论证的过程.认清教材这两部分内容的脉络后，笔者在试题中交错设计了关于作图和论证的活动，从操作开始层层深入到严格的逻辑证明.
从上可见，深度理解教材不仅是教师备课与教学的前置环节，更能为命题素材的获取、命题念头的触发提供启发.由于各版教材均未将几何作图单独成节，所以如果需要命制作图解答题，常会发生涉及的内容在教材中虽都出现，但受限于章节知识间的关联性，它们散落在不同的位置的情况.此时，就需要命题者挖掘不同作图之间的联系，串珠成线，识别出相关作图的暗线，继而贯彻新课标并重作图原理和方法的要求创设命题思路.
3.2 合理兼顾各类作图，着力凸显殊途同归
作图是将“想象”的几何图形“构造”出来的途径，有助于对几何概念及其关系的直观理解［5］.学生需要“能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形”［2］.对初中阶段来说，由于处于实验几何和演绎几何齐头并进的时期，图形性质和图形运动规律的发现、理解及验证常常都离不开直观操作的活动过程，借助折纸、方格纸和尺规是常见的手段，目的是形成对其中一般化结论的认识.就本题而言，虽然教材没有将平行线的作图和平行的性质关联起来，也没有显化不同作图手段间的一致性，但考虑到① 三种作图手段都可以得出平行的性质，② 三种作图手段的方法本质相同、只是严谨程度有所差异，③ 图形运动中的不变性是说明不同图形中线线平行的共同依据，同时编排了三类作图活动，分别以图形语言和文字语言呈现，用以要求学生在将它们转换为数学语言加以理解的过程中逐渐深化对平行基本性质的领悟.
几何性质教学的重要目标之一是通过呈现变化的图形和图形的变化帮助学生掌握“变中之不变”.从这个意义上说，用于评价几何性质学习结果情况的试题需要利用基本图形在不同情形中的变式考查学生对图形变化规律的掌握程度.因此，命制作图题时，应当紧扣图形变化规律的本质设计问题，通过设置不同作图手段的要求，既关注学生对不同类型作图的操作性理解，也要基于对图形间共性的呈现考查学生对图形变化本质的认识程度.
3.3 递进设计作法推理，充分关注执果索因
在本题“画—说—作—折—证”的五个活动中，一方面，“画”“作”“折”与作法直接相关，而这三个活动的实施过程都离不开对作图原理的理解，因此，它们与作图原理间接相关；另一方面，“说”和“证”与作图原理直接相关，但其过程都基于对作法步骤的逐个执行而展开，间接地运用了作法.也就是说，独立地看，本题的五个活动均离不开作图的方法与原理，推进的线索是从直观的操作到想象的操作、从基于观察的说理到严格的“三段论”说理.除此之外，考虑五个活动之间的联系可以发现两点：① 前两个活动和后两个活动各自构成了一个完整的闭环，都是从作图到论证的过程，区别在于第一个闭环着眼于直观验证、第二个闭环则着眼于逻辑论证；② 第三个活动不仅起到从考查几何直观能力到考查几何论证能力的过渡作用，还是对平行线作图本质的直接反映.
可以看到，作图是由因到果的过程，需要基于对目标图形的设想构造出符合条件的图形；而作图后的验证则是从果到因的过程，需要根据图形中各要素之间的关系逆向思考出作图结论之所以成立的理由.因此，在作图题的命题中，不仅要关注目标图形的形成，更要注重作图过程与验证过程的相辅相成，在从直观感知到演绎推理逐步逻辑化的进程中，同步考查学生的空间观念和推理能力.
3.4 适度开展差异赋分，分层评价逻辑水平
本题最后一个活动“证”的评分标准借鉴了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中的“满意原则”和“加分原则”，为选择不同折纸方式的正确论证赋予了不同的分数.从表面上看，这除了是考虑到两种折纸方式背后证明过程所涉及知识的复合程度，还考虑了折纸步骤的可理解性和与前面几个活动的关联性.对小明发现的证明只要使用一次折叠所产生的直接结论后再现“说”活动中的理由即可；对小丽发现的证明，除了需要多次运用折叠的知识，还会多次用到平行的判定与性质，并且需要将不同的结论综合后才能形成完整的证明过程.而从根本上看，选择小明或是小丽的发现，不仅仅意味着是对证明难易程度的选择，更是对几何直观水平和作图思想方法层次的选择.换句话说，选择小丽的发现并能顺利完成整个证明代表了逻辑思维的水平更高；而设置差异赋分则是为了让不同水平的学生都能经历适合自己的逻辑论证过程.
长期以来，正确程度和精准程度都是作图题的考查重点，考试中的尺规作图基本上都是程序性的，只需要学生按照要求完成某种基本作图或叠加多种基本作图，流程清晰、操作机械，其赋分自然也只围绕作图步骤的执行即可.但是，新课标对作图方法和原理的强调使得遵循先前模式的作图题已不能满足发展学生几何推理能力的需求.因此，在基于新课标开展评价实践的初期，考虑到师生对待作图题的固有观念尚待扭转，差异化赋分不失为一种鼓励学生尝试作图论证、支持教师改进作图教学的方式.
3.5 全面考察作图思维，创新引导几何探究
综观本题可知，五个活动虽然都要求将答案呈现为静态的图形或符号语言，但实际上，无论是作图还是论证，每一个活动的完成都离不开学生思维活动的参与.这种思维起始于对目标图形的设想，依赖于对几何要素间关系的分析和基本作图模型的回顾及调用，之后是根据题目规定的作图手段考虑可行的构图流程并逐步执行，最后是结合作图的过程和涉及的相关几何知识开展逻辑清晰的推理验证.本题正是无处不在地考查了这样的作图思维过程.比如，“说”的活动需要学生在捋清“画”之方法后利用平移和正方形的相关结论说理；再比如，“折”的活动需要学生读懂文字表述和箭头所示的折叠方法，根据折叠过程的边角关系认识其中的平行线.对这一思维的反复关注，使得本题已然成为了引导和考查学生几何探究能力的载体，学生在作图和说理的不断循环中，体悟对作图方法的摸索和对作图原理的研究.
几何的学习离不开作图，作图的本质是利用所掌握的几何知识和相应的思维方式探索未知的图形及其中的结论.从这个意义上说，作图题的使命在于洞察和激发学生的作图思维并引导学生实施探究.那幺，作图题的命制就需要从作图方法和原理双管齐下，给学生经历猜想、构思、实践、证实的过程留有空间，方能实现经由作图发展学生的几何直观、空间观念和推理能力.
参考文献：
［1］ 位惠女.为什幺要在小学增加“尺规作图”内容——马云鹏教授、吴正宪老师访谈录（八）［J］.小学教学（数学版），2022（12）：4-7.
［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.
［3］ 史宁中.核心素养统领的数学教育——《义务教育数学课程标准（2022年版）》修订的理念与要点［J］.小学教学（数学版），2022（7）：4-12.
［4］ 刘金英.尺规作图 画出精彩——基于2022年中考感悟尺规作图的育人价值［J］.中国数学教育，2022（12）：41-45.
［5］ 李文革.从七大变化把握数学改革要义——以《义务教育数学课程标准（2022年版）》初中部分为例［J］.基础教育课程，2022（19）：12-20.
基金项目：江苏省教育科学研究“十四五”规划重点课题“数学评优课磨课活动的典型机制与文化特色研究”（项目编号：C－b/2021/01/22）.
