王秋燕
【摘 要】线段图是解决行程问题的重要工具，它既直观，又抽象，对学生分析其中的数量关系有重要的帮助。在梳理教材中关于解决行程问题运用线段图的笔墨不足之虞，解构教材内容，重新规划教学，突出“线段图”在解决行程问题中的作用。经历“会仿”“会画”“会用”三个阶段，力求将线段图内化为学生解决行程问题主动运用的有效工具。
【关键词】线段图；行程问题；内化
一、一道题目引发的思考
四年级上学期期末复习时，试卷里有一道应用题：小明开车从A城出发去B城，行驶了2小时后，他超过了中点20千米，还有100千米就将到达B城，按照这样的速度，小明到达B城后马上返回A城，一共用了多少时间？让学生试做，全班36人几乎全军覆没。是学生不能审题，还是没有基本的解题思路？笔者随机选择了不同学习水平的学生进行访谈，寻找错因，学生均说这一道题目信息比较多。还有一些词，如“超过”“中点”等词不知道在算式中怎幺表达。接着，笔者一边读题，一边给学生示范画线段图，当画好线段图后，让学生解答。6位学生中有4位独立解答正确。还有2位不会做的学生，依据线段图再适当辅导后，也会正确列式了。看来，在解决行程问题时，如果学生能够依据信息有序正确地画出线段图，就可以发现这些信息之间的联系，自然而然就找到解决问题的方法。
二、教材中行程问题的梳理
为更系统地落实用线段图解决行程问题的教学，将线段图与行程问题无缝衔接，分析行程问题内容间的联系与发展，以期更系统地在其中落实线段图的教学。笔者梳理了人教版教材中行程问题的相关内容。
（一）初步渗透
三年级教材中出现的有关走路、开车、飞行等问题只是行程问题的雏形。教材通过 “加、减、乘、除”“千米的认识”以及“时、分、秒”等内容逐步渗透行程问题。最初的行程问题也只是通过简单的加减法计算路程和时间，无须分析太复杂的关系。学习乘除法之后，题中会出现“速度”“路程”和“时间”之类的名词，这就要考虑它们之间的关系，利用乘除法的原理解决问题。此时，教师就可适当引入归总线段图来进行教学，为以后学生实现线段图的内化做准备。
（二）数量关系
四年级的行程问题要求学生理解路程、时间、速度的概念以及它们之间的数量关系。从根据公式用已知量求未知量到分析题意求平均速度，学生行程问题的学习路径其实是从 “运用固定公式”到“分析数量关系”的过程。行程问题路线和方向的变化，使题目中的数量关系更加复杂，这就需要借用线段图将物体的行驶过程直观地呈现出来，挖掘解决问题的隐含条件，方能最终解决问题。
（三）解题策略
进入高段之后，教材越发注重学生分析和解决问题能力的发展。不同的行程问题该用何种方法解决。为解决复杂的相遇、分手、追及与过桥等问题，教材引入了行程路线图。进入六年级，随着行程问题变式的持续增多，相应的方法也如雨后春笋般冒出，但以线段图解决行程问题始终是主流，并由于题型的复杂化，对学生画图的能力提出了更高的要求，线段图的画法更多样，应用更灵活。
三、用线段图解决行程问题的实践
让线段图成为学生解决行程问题的策略，关键要让学生在碰到复杂关系的行程问题时能想到画图解决问题的好处，自觉把“画线段图”内化为自己的解题策略，而这种意识不是一下子就能培养成的，需要在各个阶段循序渐进地慢慢渗透。因此，根据教材的编写，笔者构建了操作运行图（见图1），作为整个研究的指南，并在实际的行动研究中加以细化和调整，从而形成具体的教学策略。
整个学习过程分为三个阶段：会仿（三年级）、会画（四年级）和会用（五、六年级），以期达到对线段图在行程问题中初步体会、充分体验、灵活运用的目标，使行程问题的教学效益最优化。
（一） 会仿阶段：教师引导，学画简单的行程关系图
在认识了归总问题线段图后，学生对线段图的基本构造有了一定的了解，此时可以将线段图的应用迁移到行程问题中。
1.动手学画，掌握行程图基本特征
线段图的渗透需要把握时机，教师应从早期一步计算的行程问题开始入手，教学生掌握行程线段图的基本画法和特征。
例题：小玲每天上学要骑7分钟的自行车，她平均每分钟骑185米，小玲家到学校的路程有多少米？
教师先引导学生用线段图表示路程并汇报画法，等学生汇报完后教师再补充要点。通过关键词的引导训练学生画图，让学生在纠错中掌握画图的方法，把抽象的文字叙述转化为直观的图形，学生也在比较中初步体会到了画图的价值。
2.放手实践，深刻体会“线段图”的重要性
虽然学生更喜欢直观地看图思考，但学生的这种喜欢并未自觉成为学生运用画图手段分析数量关系的动力。因此要创设条件让学生经历用线段图成功解决问题的体验过程。
在上面例题的基础上，再出下面的练习：小玲坐公交车去上学，用了5分钟就到学校，公交车每分钟行多少米？
教师在无任何提示下请学生独立完成。大部分学生则用刚学的归总线段图分析数量关系，直观的线段图让数量关系随即清晰，求公交车的速度相当于将路程重新分为5份，每份是多少米？思维发展水到渠成。
有了画线段图解决问题有效性的成功体验，学生顺利实现了从“被画图”到“喜欢画图”的思维转变。
（二）会画阶段：体验画图，充分感受图之功效
在掌握了行程线段图的基本画法后，教师要引导学生充分运用这一技能，通过画图去理解题意，帮助解题。
1.化抽象为直观
有些题目以长串的纯文字形式出现，这对于学生来说较为抽象。比如习题：乐乐全家去游玩。汽车在高速公路上以100千米/时的速度行驶，2小时后进入盘山公路，汽车以60千米/时的速度又行驶了2小时才到达目的地。这次行程有多长？
过长的文字叙述容易混淆学生的思维，以至于不能厘清其中的数量关系。对此，教师可引导学生根据题意画图思考，找出正确的数量关系。
学生用两条不同长度的线段表示在两段公路上行驶的路程，并由图得到“行程的长度就是高速公路与盘山公路上行驶的路程之和”的结论，题目迎刃而解。画图为学生正确探究数量关系提供了表象的支撑。
2.化隐性为显性
四年级上册第55页第9题：王叔叔从县城出发去王庄送化肥。去的时候用了3小时，已知去的速度是40千米/时，返回时用了2小时。从县城到王庄有多远？原路返回时平均每小时行多少千米？
教师在上课时先将第一问去掉，增加题目的难度，再出示题目，部分学生由于不能将3个条件联系在一起，始终找不到解决问题的关键。
教师先让学生用自己的方法描述王叔叔的行驶过程，有学生想到用线段图表示，教师就顺着学生的思路组织讨论如何画出来回的过程，让学生学会用箭头表示方向。最后从学生画的两种线段图中得到隐含条件：往返的路程相等。通过画图，把隐藏的信息直观地呈现出来，帮助学生轻松突破了读题中的难点。
3.化无序为有序
面对多条件的问题，线段图还有助于整理题目中杂乱无章的条件，将这些条件有机串联起来。比如习题：乐乐全家去外地游玩。7：30从家里出发，汽车在高速公路上每小时行驶100千米，11：30 到达目的地。返回时，由于到了晚上，汽车平均每小时少行20千米，若他们18：00 返回，他们到家是几时？
此题跟之前的往返问题相近，但这里的条件是时刻而非时间。教师引导学生先画出线段图并根据题意在相应的位置标注条件。学生从线段图了解到出发用了4小时，只需求出返回时间即可。有了这个线索，学生马上想到将此题转化为之前所学的往返问题并画出相应的线段图。
通过线段图，学生不仅将汽车的行驶过程直观呈现，而且将题中的条件有机整合在一起，将一道关系复杂的行程问题转变成了普通的往返问题，降低了难度。
（三）会用阶段：自觉运用，在复杂问题中学会找数量关系
要使线段图成为学生解决问题的一种策略，线段图需要在每个阶段都能以一定的频率出现，日积月累内化为学生解决问题主动运用的有效工具。
1.以“形”助阵，提炼等量关系
在四年级上册学习了速度、时间和路程之间的数量关系后，五年级上册“实际问题与方程5”中，新教材安排了相遇问题。
小林每分钟骑0.25千米，小云每分钟行0.2千米。小林家和小云家相距4.5千米。周日早上9：00两人分别从家里骑自行车相向而行，两人何时相遇？
教师先让学生解释“相向而行”的意思，有些学生就用线段图的形式把两个人的骑车过程记录下来，然后观察线段图，学生能明显地通过线段图知晓两人的路程和就等于4.5千米的总路程，根据这个等量关系列出方程。
借助线段图的分析，使学生掌握问题的本质，能在准确理解等量关系的基础上，建构起行程问题的数学模型，进而正确列出方程。因此，学生能主动运用“几何直观”去思考，说明学生已经把线段图当作解决问题的一种有效策略了。
2.灵活运用，简化数量关系
此时，还应该进一步通过练习强化策略的有效性，使学生在碰到较复杂的行程问题时，都能主动想到运用线段图去解决。
练习：某地举行长跑比赛，运动员跑到离起点3千米处要返回到起跑点。领先的运动员每分钟跑310米，最后的运动员每分钟跑290米。起跑后多少分钟这两个运动员相遇？相遇时离返回点有多少米？
该练习题是为了扩充学生对线段图运用的掌控能力。为了更清楚地描述过程，可以简化线段图（如上图），而不一定每次都要强调画精准的线段图和每部分的完整，只要把过程意思描述清楚，清晰体现其中的数量关系就行，强调线段图的灵活性。
华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。线段图作为几何直观的具体表现方式，有着极其重要的地位和作用。我们要从整体的角度分析教材，明确每一个阶段的教学目标，循序渐进地实践线段图的教学价值。
参考文献：
[1] 陈旭远. 新课程 新理念[M].长春：东北师范大学出版社，2003.
[2] 刘梅兰. 从“用图”到“构图”——小学生几何直观能力培养初探[J].教学月刊·小学版（数学），2015（11）.
（浙江省杭州市萧山区义蓬第一小学 311200）
