顾晓东
【摘 要】数形结合思想是一种重要的数学思想方法，是指依托数和形之间的对应关系来实现两者的互化互用，使数量的精确刻画和图形的直观表征和谐统一，从而有效地解决问题。小学数学教材从以形助数和以数解形两个维度广泛渗透了数形结合思想，教学中教师要做到适度引领、循序渐进，引导学生从体验感受出发，通过积累走向初步迁移运用。
【关键词】数形结合;教学;培养策略
基本思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的“四基”之一。数学思想方法不同于一般的数学概念和技能，它需要在教学中长期渗透和影响才能够形成。抽象、推理和建模是三大基本数学思想，另外还有如分类、化归、数形结合等思想方法。其中数形结合思想在小学数学教学中具有十分重要的意义。
一、数形结合思想的内涵意蕴
数学是研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。客观世界中现实具体的数量及其关系被抽象为数学中的代数结构，主要以符号化语言呈现，包括数、数量关系式、运算式、方程、函数等;物质的空间形式则被抽象为数学中的几何结构，主要包括几何图形、坐标系、函数图象等。“数”和“形”存在着密切联系，在内容上相互关联，方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。
着名数学家华罗庚非常重视“数形结合”，他说：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”形象、生动、深刻地指出了“数形结合”思想的价值，也揭示了“数形结合”思想的本质，是解决问题的一种特殊思想方法。
“数”“形”之间往往存在着对应关系，这种对应关系是数形结合思想的基础，体现为两种互补的思维方式，即“以形助数”与“以数解形”。前者指以“形”为手段、“数”为目的，将数量关系转化为图形关系，化抽象为直观;后者指以“数”为手段、“形”为目的，将图形关系转化为数量关系，化直观为精确。[1]
需要指出的是，数学意义上的“形”，主要是指几何图形和图象。刘加霞认为，借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法，但这一方法与数学意义上的数形结合思想的内涵不一致。[2]比如学习3+2=5时，通过摆实物或几何图片来帮助学生理解算理，这里的实物、几何图片并不是数形结合中的“形”，因为这里并不关心几何图片的形状和大小，并没有赋予图片本身形状和大小的量化特征，甚至不用图片而用小棒等材料也能起到相同的作用。因而这种直观模型至多只能是数形结合思想的雏形。如果用数轴，使数和形在数轴上形成对应关系，从而进行累加得出结果，那幺这才是真正意义上的数形结合。当然，在准确把握数形结合思想本质的基础上，再从广义的角度来理解数形结合也未尝不可，即借助实物、图形来理解数、运算、数量关系，都可以理解为是一种数形结合。[3]下文中所提及的数形结合均指广义层面上的数形结合。
小学生在数学学习过程中，受知识经验和思维水平的限制，常常很难用语言解释清楚一些概念、性质以及一些较复杂的实际问题的解决，这时教师利用数形结合思想，借助图形图象实现直观表达，就可使抽象问题直观化、繁难问题简捷化。小学阶段是渗透和培养数形结合思想的初始阶段，教师应加强对数形结合思想内涵特质的研究，善于结合合适的教学内容，启发学生通过数形结合来进行合理准确的数学思考，让原本需要抽象思维解决的问题可以借助形象思维得以解决，从而促进数学知识的理解，提高问题解决能力，同时也有利于小学生抽象思维和形象思维的协调发展，有利于其数感、几何直观、数学建模、数学推理等学科素养的发展。
二、数形结合思想在小学数学中的渗透应用
作为学生学习数学的重要方法，数形结合思想在小学数学教学中有着广泛的渗透，下面从“以形助数”和“以数解形”两个维度，分类列举一些渗透应用例子。
（一）“数与代数”领域中的“以形助数”
1.数概念教学中以形助数促理解
认数是“数与代数”领域中的重要部分，自然数的产生和形成包含着数形结合的基本思想。如自然数在抽象过程中，先用半抽象半直观的图形符号来取代具体事物，最终用抽象数字来表示，在这个认识过程中，以形助数的思想方法得到了自然运用。再如计数单位的产生和形成，其原始的想法也体现数形结合思想。人们在记录捕获猎物数量时，先用小石子记录，随着数量的增多，每满十颗小石子就换成一颗稍大一些的中石子，满十颗中石子又换成再大一些的大石子……在这个“形”的变化过程中产生了自然数的不同计数单位。在研究数的组成时，教材通常用若干个小正方形来直观表示多个“一”，用多个直条（10个小正方形组成1条）来表示若干个“十”，用一个大正方形（10×10个小正方形）来表示一个“百”，这种数形结合的方式能够让学生直观地理解计数单位和数的组成。
随着学生数概念的不断拓展和丰富，教材引入了数轴（数线），让学生理解自然数、分数、小数等各种数都能在数轴上找到对应的点，这为数的可观测、可比较提供了直观的图象支撑。数可以视为点，点可以视为数，为数的运算概念理解和法则解释提供了直观的几何化支持。
2.运算教学中以形助数探算理
学生在掌握计算法则、理解算理时也需要借助于直观的“形”。不管学习的是加减法还是乘除法，是整数的运算还是分数、小数的运算，都离不开图形（包括小棒、小方片等实物），如自然数的加减法，就可以通过小棒、小方片等实物的操作来感受运算的意义，探索运算的方法，形成运算的技能;在探索分数乘除法的计算方法时，更是需要借助线段、长方形等几何图形来帮助学生进行自主探索，学生在具体可见的图形操作中对抽象的算法有了直观的理解。再如探索乘法分配律时，学生在不完全归纳中认识了规律。教师为了让学生进一步理解规律的本质，在教学中通常也会采用“以形助数”的方法，利用长方形图展开数形结合的推理，培养学生初步的演绎推理能力。
3.问题解决中以形助数悟思路
第二环节：体会“图形”的适切性。教师改动例题数据：“另一台拖拉机每小时耕地[34]公顷，[25]小时耕地多少公顷？”继续让学生用自己喜欢的图形来表示题意并求出结果。此时仍有一些学生尝试画线段图来思考，但是感觉很麻烦，不能直观地表达出“[34]公顷的[25]是多少公顷”。而画长方形图的学生，则能够像解决上一题那样很自然顺畅地画出图形（如图3），并作算理推导。进而，教师启发学生对两种图进行比较和选择，学生体会到针对这个具体问题，采用面积图更容易表达。这个教学过程让学生初步积累了由数到形转译时要注意选取合适图形的学习经验，有利于学生今后运用数形结合思想方法解决问题。
2.提高学生对“形”的特征感知和数式表述等直观推理能力
“以形助数”包含两个方面，一是由数及形作直观构造，二是由形对数作分析推理。教师要指导学生敏锐、准确地把握图形的整体特征，开展后续的比较、分析和想象等直观推理活动，以洞察数学对象的结构与关系，并由“形”还原到“数”，获取解决问题的基本思路。
如这样一道题：“一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，这批钢材有多少吨？”这个问题中条件比较少，学生解答存在一定困难，教师可以启发学生用数形结合思想来尝试解决问题。学生受到以往用长方形面积来表征乘法问题的启发，在教师的指导下画出了直观图（如图4，为了文中表述需要，交叉点标上了字母）。图中，AG表示小卡车每辆装载吨数、AE表示小卡车45辆，AD表示大卡车每辆装载吨数，AB表示大卡车36辆，则GD表示大卡车比小卡车每辆多装4吨，BE表示小卡车比大卡车多9辆，长方形ABCD和AEFG的面积都表示这批钢材的吨数。
学生接下来就需要寻找图形中各部分组成结构与面积的关系。学生发现小长方形BEFH与小长方形GHCD面积是相同的（因为两者分别加上长方形ABHG，都表示这批钢材的吨数），学生根据已知的GD边和DC边的长度得出两个小长方形的面积为4×36=144（吨）;再根据BE是9，可以求出边AG=EF为144÷9=16（吨），这就是小车每辆装载的吨数;最后可以算出这批钢材的吨数是16×45=720（吨）。
上述解题过程很好地体现了数形结合思想，使原先比较复杂的数量关系变得直观，当然推理也很关键，需要学生依靠“图感”去发现和分析。因此，渗透和培养数形结合思想时，教师不仅要关注学生的构图能力，还应结合各种具体的实际问题培养学生的“用图”能力。
（三）迁移应用期：在迁移和构造中提升数形结合思想的运用能力
随着学生对运用数形结合思想解决问题优越性的体会不断加深，经验不断丰富，他们将从听教师指令尝试运用数形结合思想方法，逐渐走向在自我意识支配下主动运用数形结合思想方法。在遇到一些比较复杂的数学问题时，学生能够有意识地进行数形互译，作出直观分析推理，寻求巧妙的解题方法。当然，数形结合思想的主动运用往往需要由一些比较复杂的、用常规思路较难解决的数学问题来引发，因而在这个阶段，教师要有意识地提供给学生一些能利用数形结合思想解决的典型题，让学生结合以往解决问题的经验，创造性地以形助数或以数解形，从“被动用”走向“主动用、创造用”。
例如，计算[12]+[14]+[18]+[116]+[132]时，学生感受到采用常规的异分母分数加法法则来计算十分麻烦，便引发巧算妙算的念头。想到异分母分数加减法是借助平均分图形来帮助思考的，所以他们能自然地将这种数形结合的方法迁移运用。学生利用题中前后相邻两个分数之间的特殊关系，比较轻松地实现了构图（如图5）。借助直观图，学生发现这5个分数的和比“1”少了[132]，于是这个特殊的连加就转化为1-[132]，化繁为简，巧妙地解决了问题。
小学阶段运用数形结合思想方法解题时，“以形助数”居多，“以数解形”较少。教师教学时应以渗透、启发为主，让学生领会数形结合解题的一般方法，为他们今后深入运用数形结合思想方法奠定基础。
参考文献：
[1]段安阳，严微.从“形同虚设”到“美丽邂逅”——“数形结合”思想的内涵诠释与实践重构[J].教育科学论坛，2019（4）：54-57.
[2]刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透（上）[J].小学教学（数学版），2008（4）：47-48.
[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014：67.
[4] G·波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M]. 涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002：105.
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