华中科技大学附属中学(430074)
许 文●
高考物理解题中常用的数学方法例析
华中科技大学附属中学(430074)
许 文●
物理科《考试说明》明确指出考生应具有理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力与实验能力，其中对应用数学处理物理问题能力的要求是“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并能根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析.”本文通过近两年物理高考实例的分析，谈谈一些数学方法在高考物理解题中的应用，帮助同学们提高应用数学处理物理问题能力.
一、比例法
比例法可经避开与解题无关的量，直接列出已知量与未知量的比例式进行计算，可使解题过程简化.应用比例法解物理题，要注意物理公式中变量之间的比例关系及成立条件.
例1 (2016浙江)如图1所示，a、b两个闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均为n=10匝，边长la=3lb，图示区域内有垂直纸面向里的均强磁场，且磁感应强度随时间均匀增大，不考虑线圈之间的相互影响，则( )
A．两线圈内产生顺时针方向的感应电流
B．a、b线圈中感应电动势之比为9∶1
C．a、b线圈中感应电流之比为3∶4
D．a、b线圈中电功率之比为3∶1
点评 本题中两正方形线圈的边长l不同，但要求两线圈中E、I、P的比值，因此可以分别推导出E、I、P与其他物理量之间的关系的表达式，再根据其表达式求比值.
二、取整法
在一些物理规律的表达式中，由于某些量(如车厢的节数、碰撞的次数等)只能取整数，往往会对其它量的取值有种制约关系.解题时要结合实际进行分类讨论.
例2 (2015全国Ⅱ) 在一东西方向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩链接好的车厢.当机车在东边拉着这列车厢以大小为a的加速度向东行驶时，链接某两相邻车厢的挂钩P和Q间的拉力大小为F；当机车在西边拉着这列车厢以大小为2a/3的加速度向西行驶时，链接某两相邻车厢的挂钩P和Q间的拉力大小仍为F.不计车厢与铁轨间的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为( )
A．8 B．10 C．15 D．18
三、几何法
物理问题求解中常用到的几何法有：对称点的性质、两点间的直线距离最短、三角形、圆的性质、立体几何与解析几何相关知识等.
(1)作几何图
例3 (2016全国I)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值为( ).
A．1h B．4h C．8h D．16h
点评 本题通过推理分析，作出如图2所示的能实现题目中通讯要求、且地球自转有最小周期时卫星间的空间位置关系图，由几何知识可求出此时卫星的最小轨道半径rmin=2R，为问题的最终求解迈出了最关键的一步.
(2)作矢量图
例4 (2016全国卷Ⅰ)如图3所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点，另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉物块b，整个系统处于静止状态，若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( ).
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b受到的支持力也在一定范围内变化
C．接a和b的绳上的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面的摩擦力也在一定范围内变化
解法1 由于系统处于静止状态，则连接a和b的绳上的张力大小FT=mag，绳OO′的张力FO不变；设b物上的细绳与水平方向夹角为α，力F与水平方向夹角为θ，b物受到桌面的支持力为FN，静摩擦力为Ff.对b物的平衡有：Fsinθ+magsinαFN=mbg，Fcosθ±Ff=magcosα；可知当F在一定范围内变化时FN与Ff应在一定范围内变化.本题正确选项为BD.
解法2 由于b物块处于平衡状态，平移其受到的各个力的矢量，可组成封闭的多边形(如图4所示).从这个矢量图可以看出：由于其重力与mbg与连接a和b绳上的张力FT=mag一定，当拉力较小时(如图中的F)，桌面对b的支持力FN与静摩擦力Ff如图中实线所示；当拉力较大时(如图中的F′)，桌面对b的支持力FN与静摩擦力Ff如图中虚线所示，问题的正确答案就很明了.
点评 在以上的两种解法中，解法1是一般容易相到的通过建立函数关系式来进行分析，但要考虑到物块b受桌面的静摩擦力Ff的方向可能发生变化，并在函数关系式中正确表达出来，需在有一定的概括能力和数学表达能力；解法2根据物块b的合力为零，画出各力的矢量关系，在力F发生动态变化的过程中，FN与Ff的动态变化过程就很清晰明了.
四、图象法
物理问题分析的关键是建立物理情景，而物理情景往往通过适当的图象来描述.物理图象是表现物理现象与规律的一种直观手段，是数与形结合的产物，是具体与抽象相结合的体现.
例5 (2016江苏9)如图5所示，一只猫在桌边猛地将桌布从鱼缸下拉出，鱼缸最终没有滑出桌面．若鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，则在上述过程中( ).
A．桌布对鱼缸摩擦力的方向向左
B．鱼缸在桌布上的滑动时间和在桌面上的相等
C．若猫增大拉力，鱼缸受到的摩擦力将增大
D．若猫减小拉力，鱼缸有可能滑出桌面
解析 设鱼缸质量为m，鱼缸与桌布、桌面间的动摩擦因数均为μ，鱼缸在桌布上滑动过程中所受到的滑动摩擦力大小为Ff=μmg一定，方向水平向右；加速度大小a=Ff/m=μg，历时t0鱼缸滑离桌布时有最大速度v0=at0；鱼缸在桌面上滑动做匀减速运动的加速度大小也为a=μg，故在桌面上运动的时间t=v0/a=t0；在同一坐标系中分别作出桌布与鱼缸的v-t图象(如图6所示)，由于鱼缸相对桌布滑动的距离x(图6中阴影部分)一定，鱼缸与桌边的距离s0一定，若猫减小拉力，桌布的加速度减小，其v-t图线如图中的虚线所示，鱼缸脱离桌的时间会变长，会导致鱼缸在桌面上停止运动时的距离变大，则鱼缸有可能滑出桌面.综上所述，本题正确选项为BD.
点评 本题分析的难点是对选项D的判断.要认识到鱼缸质量m、鱼缸与桌布、桌面间的动摩擦因数μ、鱼缸相对桌布滑动的距离x、鱼缸与桌边的距离s0等都是一定的.一般我们可以通过牛顿运动定律和匀变速运动的相关规律，导出鱼缸在整个运动过程中的距离s与猫对桌布的拉力F的函数关系式，当猫的拉力F减小时得出s的变化，从而对问题作出判断，但这种方法较为复杂.以上求解过程中通过作v-t图象进行分析，问题的答案就直观明了.
五、解析法
用解析法研究问题时，需要把问题化整为零，然后逐步引向待求量.解析法是一种重要的逻辑推理思维，它往往通过建立适当的数学函数关系式对物理状态、物理过程进行合理的推断分析，推测在物理问题发展过程中可能出现某特殊情况，从而对物理模型有正确的理解，对物理情景有全面的认识，对研究的结果、得出的结论有正确的判断.
例6 (2016四川)如图7所示，电阻不计，间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R.质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F=F0+kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好.金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图像可能正确的有( ).
综上所述，本题正确选项为BC.
点评 本题中作用在金属棒上的外力F是随速度v变化的变力，而棒受到的安培力FA也是与v有关的变力，关于棒在这两个变力作用下运动性质的分析，是本题分析的一个难点，但本题要求对四个物理量随时间的变化关系图象的可能性作出判断，在以上解求过程中采取了定性分析与定量研究相结合的方法，通过解析法导出相关的函数关系式来作出判断，其中的关键点是要对表达式F=F0+kv中k的取值与题给其它条件进行分类讨论.
六、函数法
函数关系式是定量描述物理量变化关系的一种重要手段.物体解题中常通过函数形式讨论两个变量之间的关系，由函数关系式求物理极值等.
例7 (2016上海)如图8所示，一关于y轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度为B的匀强磁场与平面垂直.一足够长，质量为m的直导体棒沿x轴方向置于轨道上，在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加速度为a的匀速加速直线运动，运动时棒与x轴始终平行.棒单位长度的电阻ρ，与电阻不计的轨道接触良好，运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=ky3/2(SI).求：
(1)导体轨道的轨道方程y=f(x)；
(2)棒在运动过程中受到的安培力FA随y的变化关系；
(3)棒从y=0运动到y=L过程中外力F的功.
点评 本题主要通过函数形式表达物理间的变化关系.导出物理量间的函数关系式时，要结合相应的物理规律，理解函数关系式的物理意义.
七、三角函数
物理量间的关系有时可通过三角函数进行表达，这时在对物理量进行运算时就会涉及到三角函数的运算.
例8 (2016江苏卷第14题)如图9所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上.滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行.A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动.不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N0；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
解析 (1)A不动时，A对B支持力大小N=mgcosα.
(2)A的位移为x，方向水平向左；B的位移为s，方向斜面向左下方；B相对A的位移为xBA，其大小xBA=x，方向沿斜面向下，有矢量关系式s=x+xBA.作出矢量x、s、xBA的关系图(如图10所示).设B的水平位移大小为sx，竖直位移大小为sy.
则由图中的几何关系得：sx=x(1-cosα)，sy=xsinα，且s2=sx2+sy2；
或由于矢量x、s、xBA的关系图是一个等腰三个形，由三角函数得：
评析 本题三个问题都涉及到了三角函数的运算.求解的关键是对力、位移、速度、加速度等矢量进行合成与分解，通过矢量的运算法则作出相关的矢量图形，这些矢量图形的画出，是利用三角函数表达物理量间关系及运算的基础.
八、不等式
利用不等式可以表达物理量的取值范围和物理过程进行的条件.求解不等式还可以求物理极值问题.
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA；
小球A的释放时刻tA满足：tA+t3=t1+t2；
由图14中几何关系有：H-y=[hcotα- (s-x2)]tanα，
要使小球P落在斜面上，应有：2l≤x2≤4l， 可得：
评析 本题是一道关于带电小球在复合场中运动的综合问题，情景与过程的分析根据物理事件发生、发展的先后顺序，采取了程序分析法.第(3)问求解的难点是对相关隐含条件的寻找.以上求解中通过观察题目给出的图形，把“要使小球P落在斜面上”的隐含条件用不等式2l≤x2≤4l进行表达，通过对此不等式的求解，得出场强E的极值，使解题难点得到突破.
九、数列法
当一组不同的物理量有着类似的变化规律时，可通过数列的形式对这组物理量进行表达.通过结合数列的相关运算，实现对物理问题的分析与求解.
例10 (2015天津)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动.在真空中存在着如图15所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d.电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射.
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn；
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之.
由图16可以得出：rnsinθn-rnsinαn=d；
由以上公式可得：rnsinθn-rn-1sinθn-1=d；
由上式看出：r1sinθ1、r2sinθ2、…、rnsinθn组成一公差为d等数列，则有：
rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d，
当n=1时，由图17看出：r1sinθ1=d，
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则θn=π/2，sinθn=1，
点评 本题中带电粒子通过一层层的加速电场与偏转磁场，在磁场中运动轨迹半径r、速度的偏角θ有着类似的变化规律.通过运用相关的物理规律得出粒子在每层磁场中运动时rnsinθn组成一公差为d等数列，由数列的知识得出sinθn的值，这是突破问题求解的关键.
十、数学归纳法
当一组物理量有着相同的变化规律时，我们可通过运用不完全数学归纳法得到这组物理量变化的通式，从而推具有普遍意义的一般性结论.
例11 (2015江苏)一台质谱仪的工作原理如图18所示，电荷量均为 +q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经过加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片区域已知放置底片的区域MN=L，且OM=L.某次测量发现MN中左侧2/3区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧1/3区域QN仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到.
(1)求原本打在MN中点P的离子质量m；
(2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围；
(3)为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数.(取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699)
点评 归纳法从个别的物理现象或特殊的物理过程出发，通过推理得出具有普遍意义的结合或规律.本题通过运用数学归纳法得出第n次调节电压时，粒子在磁场中运动的轨迹半径rnr的通式，为问题最终求解打下了基础.
伽利略说过：“大自然这本书是用数学语言写的.”物理问题的分析与求解离不开数学方法的应用.应用数学知识处理物理问题的能力是高考物理能力要求之一，高考物理解题中除了本文以上所述的的数学方法外，还用放缩法、估算法、近似法、微元法等.
G632
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1008-0333(2017)13-0058-05
