冯云霞

(江苏省连云港市艺术学校 222002)

一、Fibonacci数列的通项公式

Fibonacci数列的通项的证明可以通过求解递推关系公式来实现，通过求解常系数线性齐次递推关系或利用生成函数法分别加以证明递推关系为

证明： 设Fn的生成函数为F(x)，则有

F(x)=F0+F1x+F2x2+…+Fnxn+…,

x(F(x)-F0)=F1x2+F2x3+…Fn-1xn+…,

x2F(x)=F0x2+F1x3+F2x4+….

把以上式子的两边由上向下作差得

F(x)(1-x-x2)+x=F0+F1x+(F2-F1-F0)x2+(F3-F2-F1)x3+…=1+x+0+0+….

二、下面来证明该数列与黄金数的关系

我们先证明命题1和2，然后再求数列{bn}的极限.

命题1 Fibonacci数列的相邻四项都满足关系式：Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n,n≥3.

证明：根据行列式与线性方程组的关系，

整理得：Fn-12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1,

(Fn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-1=(-1)n,

Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n.

命题2 数列{bn}存在极限.

又因为数列{bn}有界.所以{b2n},{b2n-1}的极限存在.

则必有A=B≠0.所以数列{bn}存在极限.

由此可知Fibonacci数列与黄金数之间有着密切的关系.