何正文
(广东省肇庆市百花中学 526000)
一道题可以因为有思考角度，解题顺序，定理公式运用，数学公式变式，代入方式，知识板块不同而多解.下面从六个例子的不同解法中剖析出其中的本质.
一、 运用思考角度不同的一题多解
这道题解法用多面体的体积知识点做，从分割，补全，不割不补的不同思考角度有不同的解法.
从把原多面体分割成三个小几何体这个角度出发：
解法一取CE中点M，ED中点N，则可将此多面体分割成三个小几何体，分别是四棱锥C-ABMF，三棱柱BMN-AFD以及三棱锥E-BMN，CD=2.
通过证明和计算，可以得到：CD⊥面ABMF,BA⊥面ACD,EN⊥面BMN，CD=2.
从把原多面体补全成一个大几何体这个角度出发：
解法二把原几何体补全成一个新的几何体(三棱柱ACD-A1C1E)发现，原多面体的体积是三棱柱ACD-A1C1E体积的一半.
从对原多面体既不分割也不补全这个角度出发：
解法三(对原多面体既不分割也不补全)
把原多面体看成一个以C为顶点，四边形ABED为底面的四棱锥.
过C作CG⊥AD，通过证明可知：CG⊥面ABED.
二、解题顺序不同的一题多解
证法一(从左到右)
证法二(从右到左)
∵log1227=a,
证法三(中间会师)
证法四(转化条件)
以上一题多解，既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理推理论证等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等，这些对提高解题能力是多幺重要.
三、运用定理公式不同的一题多解
这道题解法都是用角和边互换的知识做，分别用余弦定理，正弦定理，射影定理，有不同的解法.
从余弦定理这个知识点出发：
从正弦定理这个知识点出发：
从射影定理这个知识点出发：
四、运用数学公式变式不同的一题多解
例4 已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x=-1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程.
这道题是考察抛物线公式的知识点，我们可以选取不同的抛物线公式，有不同解法.
从抛物线方程的一般式：
解法一截距为3，可选择一般式方程：y=ax2+bx+c(a≠0).
显然有c=3，利用其他条件可列方程组求a，b值.
从抛物线方程的顶点式：
解法二由对称轴为直线x=-1，可选择顶点式方程：
y=a(x-m)2+k(a≠0).
显然有m=-1，利用其他条件可列方程组求a，k的值.
从抛物线方程的两根式：
解法三由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(必须与x轴有交点).
显然x1=-3，x2=1.由截距3，可求a值.
五﹑运用代入方式不同的一题多解
例5 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=1,则f(-3)等于( ).
A．2 B．3 C．6 D．9
这道题是代入法来做，我们可以选取不同的代入值，有不同解法.
解法一f(x+y)=f(x)+f(y) 中，可令x,y特殊值,计算出前几项，猜想出结果.令x=0,y=0, 得f(0)=0;令x=1,y=1, 得f(2)=4;再令x=1,y=2, 得f(3)=9.则f(0)=0，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9猜想f(x)=x2, 则f(-3)=9.
解法二再取特值得f(0)=0，再令y=-x得，f(x)+f(-x)=2x2，再令y=-x，得f(-3)=9.
解法三右边2xy，有点象完全平方的形式，构造满足条件的特殊函数.
取f(x)=x2满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy和f(1)=1，则f(-3)=9.
六、 运用知识板块不同的一题多解
例6 过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点， 自M,N向直线l:x=-a作垂线，垂足分别为M1,N1.
这道题证明垂直的题目，从几何板块知识，向量板块知识，坐标计算知识板块等不同知识板块，有不同的解法.
从几何板块知识入手:
由抛物线的定义得：|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,
所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.
如图5，设准线l与x轴的交点为A1，因为MM1∥NN1∥AA1,
所以∠A1AM1=∠MM1A,∠A1AN1=∠NN1A.
而∠A1AM1+∠MAM1+∠A1AN1+∠NAN1=180°.
即2∠A1AM1+2∠A1AN1=180°.
所以∠A1AM1+∠A1AN1=90°.
故得AM1⊥AN1.
从向量板块知识入手:
证法二设∠MAx=θ,
从坐标计算板块知识入手：
所以AM1⊥AN1.
所以AM1⊥AN1.
综合上述(1)、(2)，必有AM1⊥AN1.
可见，不同解法反映学生的视角与思路是不同的，本质就是把数学知识图形化,坐标化,代数化,知识点之间融合化,从一道题中学会一类题，甚至构建一个知识系统.达到举一反三，一箭双雕的目标.
