周天明

(安徽省合肥市第六中学 230001)

一、举例及解析

分析试卷时我给出了以下解法：

由|PA|=|PB|，可得A,B的中点与点P连线的斜率为-3.

听完他的提问，我的第一反应是认为这可能只是一种巧合，但还是让他把他的解法展示给大家看看.他的解法如下：

解当直线l斜率不存在时，根据对称性可知，直线l被双曲线与渐近线所截得的两段长相等. 故直线截双曲线的弦的中点与直线与两条渐近线交点的中点相同.

所以xP+xQ=xA+xB，故直线截双曲线的弦的中点与直线与两条渐近线交点的中点相同.

故解法二并不是巧合，而是有其合理性和数学背景.

解因为A,P,Q,B共线，所以要证|PA|=|QB|，只需证xP-xA=xQ-xB，即xP+xQ=xA+xB，当直线l斜率不存在时，根据对称性可知，直线l被双曲线与渐近线所截得的两段长相等.

当x0≠a时，显然直线l存在斜率,故可设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),

这时下课铃响了，我让同学们课下继续思考这个问题，看看还有什幺新的发现.第二天，又有同学有了新的发现，下面是几位同学的发现.

故△OAB的面积为定值.

二、总结

哈尔莫斯提出“问题是数学的心脏”.通过这次由于错解引发的探究，我感到问题也是数学教学的心脏，只有问题才能引发学生思维活动，发展学生的数学能力.以问题为指引，引导学生自主探究，合作学习，我们会发现学生的潜力是无穷的.如何激发学生兴趣，如何引导学生去主动探究，是值得每位数学教师深思的问题.数学教学要着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人才.