曹 琪
(湖北省武穴市实验高级中学 435400)
函数作为《普通高中数学课程标准(2017年版)》四条主线内容之一，是高考命题的重点，试题能很好地体现《中国高考评价体系》中，关于高考考查要求的基础性、综合性和创新性，是考查数学学科核心素养和关键能力的重要载体，因此，也是学生学习的难点.利用导数研究函数的性质，是解决函数问题的主要方法，本文基于高考和各地模考试题，谈构造函数在破解函数综合问题的应用，以追踪热点，突破难点.构造函数的主要依据有两个，一是根据已知条件或所求问题中式子的结构特点；二是根据求导基本法则，即导函数的结构特征.前者一般以确定函数为研究对象，后者则多以抽象函数的形式出现.无论是哪种形式，本质上都是模型识别，是数学建模在学科内的具体体现.
1 构造函数比较大小
例1(2021年八省联考12题)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则( ).
A.c 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 故有f(3) 即f(c) 而0 例2 (2020年高考新课标Ⅰ卷理12)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ). A.a>2bB.a<2b C.a>b2D.a 分析虽然a，b分居在等式两边，但两边结构不完全相同，为构造函数设置了一定障碍，同时，选项又为破除障碍作了很好的提示，即等式右边要幺向2b转化，要幺向b2转化.事实上，从运算角度来看，只有右边有一定的运算空间. 解析因为2a+log2a=4b+2log4b =22b+log4b2 =22b+log2b <22b+log2(2b)， 令f(x)=2x+log2x， 则f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又因为上式可表示为f(a) 所以a<2b，故选B. 例3 已知函数f(x)的图象关于y轴对称，f′(x)为f(x)的导函数(下同)，且当x∈(-∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0恒成立.a=20.2·f(20.2)，b=logπ3·f(logπ3)，c=log39·f(log39)，则a，b，c的大小关系是____. 分析a，b，c具有明显的相同结构，为我们构造函数提供了便利.利用函数比较大小，需要研究函数的单调性，f(x)+xf′(x)<0恒成立，正是函数单调性的导数表示. 解析令F(x)=xf(x)，则a=F(20.2)，b=F(logπ3)，c=F(log39)=F(2). 因为函数f(x)的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数，从而F(x)为奇函数. 又当x∈(-∞,0)时，F′(x)=f(x)+xf′(x)<0， 所以F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减. 显然有，2>20.2>1>logπ3>0. 所以c 例4 (2021年湖北七市州联考)已知函数f(x)是定义在区间(0，+∞)上的可导函数，满足f(x)>0，且f′(x)+f(x)<0.若0 A.f(a)>(a+1)f(b) B.f(b)>(1-a)f(a) C.af(a)>bf(b) D.af(b)>bf(a) 解析根据f′(x)+f(x)<0，联想函数F(x)=exf(x). 因为F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]<0， 所以F(x)在(0，+∞)上单调递减. 又0F(b). 即eaf(a)>ebf(b). 也即f(a)>eb-af(b). 所以函数g(x)在(0，1)上单调递减. 则g(x)>g(1)=0. 所以af(a)>bf(b)，故选C. A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 故函数g(x)在(0,+∞)上单调递减. 而g(1)=0，所以，当0 当x>1时，g(x)<0，f(x)<0. 从而，当x>0时，f(x)<0恒成立. 又函数f(x)为R上的奇函数， 所以，当x<0时，f(x)>0. 不等式(x2-4)f(x)>0可化为 解得x<-2，或0 例6 定义在R上的函数f(x)，对于任意实数x，都有f(x)>f′(x)，且f(x)+2021为奇函数，则不等式f(x)+2021ex<0的解集为____. 所以g(x)为R上的减函数. 又f(x)+2021为R上的奇函数， 所以f(0)+2021=0. 即f(0)=-2021. 不等式f(x)+2021ex<0可化为 即g(x) 根据函数g(x)的单调性，得x>0. 解析令F(x)=exf(x)，则F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]≥0. 故函数F(x)为R上的增函数，或者为常数函数. 又F(0)=e0f(0)=1，F(2)=e2f(2)=1， 所以F(x)=1. 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增. 易知h(x)在(0,+∞)上单调递减. 分析对于含参不等式恒成立问题，一般考虑参变分离，如果参变分离很困难，一是考虑直接研究含参函数的性质；二是对不等式变形，若不等式的两边能分解成结构相同的两部分，则可构造函数进行求解. 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 所以a≥-e，即实数a的最小值为-e. te2tx-ln2x≥0. 因为x>0，所以2txe2tx-2xln2x≥0. 即2txe2tx≥2xln2x=ln2x·eln2x. 令F(x)=xex， 上式可表示为F(2tx)≥F(ln2x). 因为F′(x)=ex+xex=ex(x+1)>0， 所以，函数F(x)在(0,+∞)上单调递增. 因此，2tx≥ln2x对∀x>0恒成立. 显然，含参不等式恒成立问题，解题难度更大，要求学生有较强的变形能力，以及敏锐的洞察力，构造函数解决问题依然是核心.
2 构造函数解不等式
3 构造函数求值或取值范围
4 构造函数解决恒成立问题中参数的取值范围
