陈卫国
(贵州省北京师范大学贵阳附属中学 550023)
物理原型：图1，斜面质量为M，倾角θ，其上有一个物体，质量为m.
图1
1.若斜面光滑，则当斜面静止在水平面上时，地面对斜面的静摩擦力为
f=mgsinθcosθ
分析斜面光滑，物体沿斜面下滑的加速度a=gsinθ，其水平分量为
a1=gsinθcosθ
斜面对物体的水平作用力为F=ma1=mgsinθcosθ
根据牛顿第三定律，地面对斜面的静摩擦力为
f=mgsinθcosθ
2.若水平面、斜面光滑，为使物体相对斜面静止，则需对斜面施加水平力为
F=(M+m)a=(M+m)g(tanθ)
方向向左.
分析物体与斜面一起在水平方向做匀加速直线运动，物体受的水平合力为Fm=mg(tanθ)
故整体加速度为a=g(tanθ)
水平推力为F=(M+m)a=(M+m)g(tanθ)
3.若水平面、斜面光滑，则当物体在高h的斜面顶部自由下滑到斜面底部，在下滑过程中，图2(令向右“+”，向上“+”)
图2
物体的水平加速度为
物体的竖直加速度为
(取斜面为参考系，在非惯性系中，物体沿斜面方向加速度a0，补充水平惯性力-maM，有：
物体相对斜面下滑，mgsinθ+maMcosθ=ma0
物体随斜面右行，对整体，(ma0)cosθ=(M+m)aM
另外，水平方向本质为人船模型MaM=mamx
物体的加速度与水平面的夹角为
当θ=0,则am=aM=0
当θ=90°,则am=g
当M≫m,则am=gsinθ,aM=0
当M≪m,则am=g,aM→∞(方向水平)
因为下滑过程中系统机械能守恒，水平方向动量守恒，有
斜面模型主要考查受力分析，力的合成和分解，牛顿运动定律，动能、机械能等力学中的很多知识，如将此模型置于电场、磁场中，则可考察电磁学方面的问题，另外，还可以将之置于非惯性系中，则可以引发出更多新问题.
如果斜面固定，对斜面上的物体受力分析，建立坐标系进行正交分解，选择利用三大定律列方程求解.
如果斜面不固定，我们将斜面与斜面上的物体看成系统，仔细观察题中条件，采用整体法或动量定理甚至动量守恒定律处理.
例题图3，在水平地面上有一辆运动的平板小车，车上固定一个盛水的杯子，杯子的直径为R.当小车作匀加速运动时，水面呈如图所示状态，左右液面的高度差为h，则小车的加速度方向指向如何？加速度的大小为多少？
图3
解析我们由图3可以看出物体运动情况，根据杯中水的形状，构建这样一个模型，一个物块放在光滑的斜面上(倾角为α)，重力和斜面的支持力的合力提供物块沿水平方向上的加速度，其加速度为：
a=gtanα
习题：图4，质量为M的木板放在倾角为θ的光滑斜面上，质量为m的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑.
(1)要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什幺方向跑动？
(2)要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什幺方向运动？
图4
解析略
4.拓展延伸.如图5，将三根光滑平直轨道一端固定于地面，另一端错位固定在同一竖直板上，且三根轨道与水平面分别成30°、45°、60°.将三个小钢珠置于轨道顶端，同时松开手，比较小钢珠到达轨道底端的快慢(可以通过听小钢珠撞击底端的金属挡板声音判断).
图5
解析令轨道与水平面夹角为θ，各个轨道共同底边长为l，则小钢珠在任意轨道顶端下滑到底端过程中耗时为
5.走向高考.(2021全国甲卷)如图6，将光滑长平板下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上.横杆位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间夹角θ可变.将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t的大小有关.若由θ逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将( ).
图6
A. 逐渐增大 B. 逐渐减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
故答案为D.
(2021全国甲卷)如图7，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放.已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下.已知小车与地面间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g.
(1)求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
(2)求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
(3)若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什幺条件？
图7
解析略.
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