朱 炎
(河南省郑州技师学院 450000)
1 极限思想在概念中的应用
极限思想贯穿了整个数学分析过程，也是解决数学问题必不可少的方法之一，可以巧妙地解决各类问题.因此，在具体应用前，必须掌握极限的概念和具体思想内容.由上可知，极限的概念是动态变化的，会根据具体变量和过程发生变化，以函数为例，如果定义函数在某点连续，就是当自变量增量趋于零时，那幺函数值的增量趋近于零，如果是对导函数进行定义，就是当自变量增量趋于零时，函数增量和自变量增量比的极限值.极限思想就是要在解决数学问题过程中，先确定未知量的近似值，然后根据近似值的具体趋向，确定量的具体数值.因此，掌握良好的极限求解方法是数学分析的关键环节，在参考现有的例题内容后，从公式、定义、法则、性质这几个角度出发，确定具体的求极限方法.
2 极限理论在数学分析中的作用
极限的定义并不是一成不变的，需要根据不同类型变量、过程进行确定，而受到变量和过程多元化特点的影响，极限的形式和定义也并不固定.在这样的情况下，只需要了解常见、重要的极限形式，以此为中心进行拓展，就可以掌握其他极限形式，进而科学地展开数学分析活动.极限思想贯穿了数学分析过程的始末，这一点在很多数学着作中都有所体现，在实际应用过程中，借助这一思想将变量和常量、有限和无限之间的统一关系直观地表现出来，也是唯物辩证法对立统一规律在数学分析中的具体实现.
数学分析的主要作用在于解决初等数学无法解决的问题，如，瞬时速度、曲边形面积、曲边形体积等内容，有赖于微积分的发展，极限思想得到了完善，相应的概念体系规范化、系统化，目前已经成为了数学求解中的主要内容.作为数学分析的重要组成部分，在很多数学问题上都可以利用极限思想进行分析.由此可见，极限理论在数学分析中占有着重要位置.从实际应用情况来看，极限思想引出了连续函数、导数、定积分、多元函数偏导数等重要概念，数学分析之所以可以解决初等数学无法解决的问题，正是因为其采用了极限思想方法.
3 极限理论在数学分析中的应用
4 求极限方法在数学分析中的具体应用
4.1 利用定义求极限
根据前文分析，对极限的定义有了一定的认识，前文中主要介绍的是数列极限的概念，在对极限进行定义的过程中，还可能应用到函数知识，具体分为两种定义方式，分别为：函数f(x)在x0某一去心邻域内和在|x|大于某一正数时，两者均有任意给定正数ε,总存在正数δ.前者需要让0<|x-x0|<δ中所有x对应的函数f(x)满足|f(x)-A|<ε，此时A就是函数f(x)在x→x0时的极限值；后者需要让|x|>δ中所有x对应的函数f(x)满足|f(x)-A|<ε，此时A就是函数f(x)在x→x0时的极限值.
4.2 利用法则求极限
需要注意的是，在应用四则运算法则前，必须要保证每个因子均存在极限，或者变形后存在极限，同时分母极限不能够为零.任何一个条件不满足都不能够应用这种计算方式.
4.3 利用公式求极限
需要注意的是在利用这两个重要极限公式的过程中，必须要慎重观察函数形式是否符合未定式形式，如果不符合，则证明求解过程中存在错误，或者该极限思路并不适用于这一数学分析过程.
在利用泰勒公式求解的过程中，先利用这一公式将函数展开，然后再利用普通的求极限方式进行计算分析.实际上，泰勒公式对一些较为复杂的求极限过程具有化简作用.在实际应用过程中，函数f(x)需要在x=0时，存在n+1阶连续导数，在此基础上，可以进一步展开处理.
解析按照泰勒公式，对该函数进行化简，就可以得到ax和a-x的具体数值，进而按照具体的简化步骤进行求解.
4.4 利用性质求极限
除了上述几个方法之外，利用性质也可以求解极限，主要分为无穷小量性质法、函数连续性法.以无穷小量性质法求解为例，在该性质中有三点性质和极限有关，只要符合这三点性质，就可以利用无穷小量的性质解决相关的极限问题.(1)有限无穷小量的代数和为无穷小；(2)无穷小量与有界函数的乘积为无穷小；(3)有限无穷小量的乘积为无穷小.
4.5 其他求解方法
除了上述几个方面之外，也可以利用微分中值定理、积分中值定理完成极限求解.这两个定理内容也较为相似，都需要函数f(x)在闭区间[a，b]内连续，但微分需要其在开区间(a，b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a，b)，而积分则需要函数g(x)在区间[a，b]内不变号且可积，至少存在一点ξ∈(a，b).定积分法也是求解极限的一种模式，主要是利用定积分的定义进行极限求解，将定积分划分成和式极限的形式，完成求解过程.反之亦然，在求解和式极限的过程中也可以将其转化为定积分的形式.综合来看，微分中值定理、积分中值定理，实际应用中可以提高解题效率，简化解题步骤，解题准确率也会得到大幅度提高.
综上所述，数学分析中求极限的方法众多，但每个方法都具有一定的局限性，在实际使用过程中需要充分考虑到使用前提和具体条件，正确完成计算求解.通过对求极限方法的归纳分析，明确不同方法的求解条件、内在条件，以及不同方法之间的内在联系，让求极限方法在数学分析中得到灵活的应用.
