华佳辰 马东阳 严春欢 吕志伟
(江苏省宿迁学院 223800)
高观点下的导数题一直以来都是高考的热点,往往在高考数学中都是以压轴题的形式出现,具有一定的难度.导数在高中数学中是重要知识模块,它作为连接初等数学与高等数学的桥梁,有着丰富的数学思想.若导数题仅用初等数学方法来解,往往需要很多技巧,但从数学分析观点来看导数题,这些问题往往迎刃而解.本文以不同地区数学考试导数题为例,从Rolle定理、Lagrange中值定理等数学分析视角出发,对导数题进行探究、分析.同时,对在教学过程中渗透高观点的思想方法提出建设性建议,进而提高学生的基本数学素养.
1 试题解法研究
1.1 Rolle中值定理的应用
例1 已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2，若函数f(x)在定义域上有3个零点，求整数a的最小值.
解析对f(x)中的x求导，得
若f(x)在定义域上有3个零点，则f(x)至少存在三个单调区间.故f′(x)=0至少存在两个大于-1的不等实数根.令g(x)=2ax2+2ax+1,则
当a=3时，f(x)=ln(x+1)+3x2，
综上所述,整数a的最小值为3.
分析本题没有很直接地用到Rolle中值定理，但是却有着Rolle中值定理的思想在里面，列出本题只是为了向读者传达和展示高中试题背后的高观点思想，而非使用高观点解题.
1.2 Lagrange中值定理的应用
令g(x)=x2-(a-1)x+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立.
分析本题设计背景来源于微积分中的Lagrange中值定理，例2由2009年辽宁高考数学理科卷的21题改编而来，参考答案通过构造辅助函数F(x)=f(x)+x,再研究构造函数的单调性，辅以分类讨论的思想来解决，但这样做直观性不足，并且会带来大量的计算；遇到问题中有f(x1)-f(x2)和x1-x2或是f(x)和ax+C(C为常数)的不等式，很多情况下都可以用Lagrange中值定理来解决；这里提供的高观点解法，还原了本题的命题意图与思路，在一定程度上体现了大学数学与高中数学的联系.
1.3 L′Hospital法则的应用
例3 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
令h(x)=2xcosx+(x2-2)sinx,
则h′(x)=x2cosx.
所以当x∈(0,ξ)时,h′(x)>0,h(x)>0；当x∈(ξ,π)时,h′(x)<0,h(x)<0.
故g(x)在(0,ξ)单调递增,在(ξ,π)单调递减.
故a∈(-∞,(0].
分析解决这类含参不等式时，将参变量分离是首选方法，但求分离出来的函数式最值很困难，利用L′Hospital法则求解函数最值时，可以有效地避免讨论，使解答过程更加简洁.
1.4 Taylor公式
求证：f(x)>1.
证明由已知，得a=1,b=2.
故f(x)>1.
1.5 Lagrange乘数法的应用
φ(a,b,c)=a+b+c-1=0,
分析Lagrange乘数法是在φ(x,y)=0限制条件下，求解函数z=f(x,y)的极值.这一理论是求解多元函数最值问题的快速方法，比较适用于客观题.
2 数学分析观点下高中导数试题教学建议
在实际教学中，要考虑到学生的学业基础水平与认知水平，充分贯彻量力性原则.可以在学生已有的导数基础上进行拔高，让学生知道导数不仅仅只有求导求极值，还有一些更高等的知识，比如微分中值定理.引入数学分析知识时，要关注学生个体之间的差异性，努力做到让优等生在考试中利用“高观点”知识得到学科优势；对于中等生，教师可以将“高观点”试题进行总结归纳，不需要讲解数学分析理论的本质，以免过于抽象导致学生理解困难，应尽量使学生做到在实际解题中积累相关经验，从而达到利用“高观点”知识解题的目的；对于后进生则还是重视高中数学基础知识的教学.因此，这里笔者还是认为面向学校较高层次的班级进行适当的“高观点”知识的教学较为合适.
波利亚曾说“掌握数学就意味着善于解题”.对于中学教师而言也就是“教好数学就意味着善于研究题目”.因此，中学数学教师也要定期地学习数学分析的有关知识，多关注近年来高考题、模拟题中的数学分析背景，不断提高教师自身的数学素养.只有数学教师对题中的出题背景有了清楚的认识，才能去教导学生解题，同时提高学生的思维水平.
