金保源
(华南师范大学附属惠阳学校,广东 惠州 516200)
圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型,难度较大,考查知识间的联系与综合,并且此类题一般计算量都较大,费时费力难以攻破,令很多学生望而生畏.本文以2023届惠州市第一次调研考试第21题为例,从数学运算的角度给出该题的几种典型解法,并进行了一般性推广,以期对圆锥曲线教学备考有所启发.
1 试题呈现
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图1, 椭圆C的左、右顶点分别为A,B, 点M,N是椭圆上异于A,B的不同两点, 直线BN的斜率为k(k≠0), 直线AM的斜率为3k,求证:直线MN过定点.
图1 2023年惠州市第一次调研考试题图
2 解法探究
2.1 第(1)问解析
所以a2=4,b2=3.
2.2 第(2)问解析
解法1 (设线解点)由于BN的斜率为k, 设直线BN的方程为y=k(x-2),
整理,得
(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
同理可得:由于AM的斜率为3k, 则直线AM的方程为y=3k(x+2)[1].
(36k2+3)x2+144k2x+144k2-12=0.
即 (12k2+1)x2+48k2x+48k2-4=0.
所以直线MN为
即直线MN过定点P(-1,0)[2].
综上可得, 直线MN过定点P(-1,0).
点评本解法为参考答案提供的方法,设直线方程,然后与椭圆方程联立,求解点的坐标,进而得到直线MN的方程,即可求得直线MN过定点.该方法思路较为简单自然,属于高中圆锥曲线问题的常规解法,但选择这一方法的学生并不多,一是计算非常麻烦,二是学生更习惯于联立后使用韦达定理.
(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0.
即2my1y2-(n-2)y1+(3n+6)y2=0.
解得n=-1.
所以直线MN过定点(-1,0).
解法3 (齐次化平移)由椭圆第三定义可得
3x′2+12x′+4y′2=0.
直线M′N′的方程为x′=my′+n,
3x′2+4y′2+12x′·(mx′+ny′)=0,
(3+12m)x′2+4y′2+12nx′y′=0,
两边同除x′2,得
由此直线M′N′过定点(-3,0).
又x=x′+2=-3+2=-1,y=y′=0,
故直线MN过定点P(-1,0).
解得n=-1.
所以直线MN过定点(-1,0).
解法5 (极点极线)设直线AM,BN交于点P(x0,y0),
即直线AM,BN的交点P在定直线x=-4上.
所以直线MN过定点(-1,0).
评注曲线系和极点与极线属于高等几何范围,在解题中不能直接使用.对本题而言,使用这两种方法解答的过程快速简洁,体现了高观点低运算的特点,老师可以根据教学实际,给优秀的学生进行拓展,帮助他们快速得出结论,从而明确解答的方向[5].
3 结论推广
证明设直线AM,BN,MN,AB的方程分别为lAM:y=tk(x+a),lBN:y=k(x-a),lMN:x=my+n,lAB:y=0,
则过A,B,C,D四点的曲线系方程为
化简,得
比较式子系数,得
上述问题中,若点A,B不是椭圆的左右顶点,还有类似结论吗? 笔者发现,只要点A,B关于原点对称,直线依然过定点.
结论2证明方式和结论1类似,这里不再赘述.本文已证明若两直线的斜率比值为定值,可引出直线过定点.若已知直线过定点,能引出直线斜率比值为定值的结论吗?将椭圆改成双曲线是否依然有类似的结论?限于篇幅,本文不再展开,有兴趣的读者可以进一步探究.
4 备考启示
4.1 注重数学运算素养
数学运算能力对解析几何的学习具有举足轻重的作用.现实是学生运算能力普遍不高,我们在实际教学过程中需要循序渐进,适当降低运算难度.但必要的运算是不可避免的,这是由解析几何的学科特点决定的.在教学过程中,教师要做好运算示范,带学生经历完整运算过程,进行算理分析和运算训练,逐步增强学生的数学运算能力.
4.2 注重一题多解
在教学过程中,我们不能就题讲题,要引导学生从不同的方向去发现问题、分析问题,进一步解决问题,通过一题多解体会不同方法的区别与作用,加深对知识的理解.我们通过解法1进行通性通法的分析,然后逐步对优化计算进行了一些有益的探索,体现了高观点低运算的特点,有利于提升学生的数学运算素养.
4.3 注重对问题的推广
对典型试题的研究不能停留在解法的多样性上,还需要进行深入挖掘题目背后隐含的性质,往往可以得到一些优美的结论.在教学中,教师只有从更高的角度看待问题, 更深的角度揭露本质,才能真正让学生在数学学习中得到乐趣, 开拓学生眼界,开阔学生思维,培育学生优秀的个性,培养学生的数学核心素养.
