于宝兴，李仲勤

(1.兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2.兰州交通大学 测绘与地理信息学院，甘肃 兰州 730070)

随着我国高速铁路的快速发展，无砟轨道路基的工后沉降变形预报问题成为国内外学者重点研究的对象，而过渡段问题的预测分析又是其中的重点和难点。目前路基沉降预测方法一般可分为三类:第一类,根据现有规范中推荐的或利用分层总和法来计算最终沉降量,即为理论公式法。第二类也是根据固结理论,采用不同的本构模型,通过有限差分、有限元和边界元等方法计算沉降量,判断其发展规律,此类即为数值计算方法。第三类是观测资料的回归分析法,这种方法是以实测数据为基础,通过回归分析来预测沉降。

本文主要以回归分析方法对路隧和路桥过渡段进行沉降曲线拟合，预测最终沉降量，并进行对比分析以及优化改进。主要对常用的回归曲线方法双曲线法、指数法、三点法、Asaoka法进行分析和优化，总结分析各种方法在过渡段中的适用性，并结合二次自适应最小二乘迭代的思想对其中的Asaoka法、三点法、指数法进行优化改进，并进行对比分析，为高速铁路路基过渡段沉降预测分析提供依据。

1 曲线拟合法简介及优化改进

1.1 双曲线法

双曲线方法的基本表达式为

(1)

式中：S0为初期沉降量(即t=1时的值);St为t时刻沉降量；t0为起点时间；α，β为实测数据经过曲线回归求得的系数。转换为

(2)

由实测数据得(t-t0)/(St-S0)与(t-t0)，通过最小二乘拟合直线，求得直线的截距α和斜率β即可求得任意时间的沉降量St和最终沉降量S∞:

(3)

双曲线法是一种纯经验的曲线配合方法，是假定下沉平均速率以双曲线形式减少的经验推导法，该方法适用于恒载条件下的沉降预测。

1.2 Asaoka法

1)Asaoka法基本表达式为

St=S∞-(S∞-S0)e-a1t.

(4)

式中：最终沉降量S∞和系数a1。Asaoka法基本思想：利用沉降观测资料求出未知数,预估最终沉降。以体积应变表示的一维固结方程可近似地用一个以级数形式的微分方程表示沉降过程，在预测沉降量时，一般仅取一阶方程，当观测时间等距时，对上式离散化，可得到相邻时间段间的变化关系：

St=β0+β1St-1(t≥1).

(5)

当t趋于无穷大时St≈St-1，联立式(4)和式(5)两式可得到本级荷载下的最终沉降S∞和系数a1为

(6)

2)方法优化改进。当已知最终沉降量以后，对于系数a1的求解提出新的方法，通过对式(4)的变换，利用最小二乘思想求解系数a1，保证了系数的真实可靠性。

(7)

通过最小二乘进行拟合得出a1和Δ，理论上Δ=0，由于拟合曲线不可能完全与实测值重合，所以会有误差Δ，最小二乘法保证了误差最小。优化改进后的计算系数的方法，减少了对时间间距Δt的依赖，而且提高了a1的拟合精度。理论上提高了拟合曲线的精度。

1.3 三点法

1)三点法的基本表达式为

St=S∞(1-Ae-Bt)+SdAe-Bt.

(8)

式中：Sd为瞬间沉降；S∞为最终沉降量；B为系数。A=8/π2。从实测沉降时间曲线上取3个点，要求：Δt=t3-t2=t2-t1(时间间隔尽可能的大)，S2-S1>S3-S2。将选的三点带入式(8)联立解得

(9)

该法计算简单，但一般要求观测资料持续时间较长，实测沉降曲线要在收敛阶段才可以使用。缺点是选取的沉降点不同，计算结果迥异，使结果的准确性大打折扣，长期观测数据选点比较复杂。

2)方法优化改进。根据式(9)可以看出所有参数的计算都是根据所选三个点进行计算的，由于直接对原式(8)进行最小二乘计算过于复杂，求出参数B。

(10)

利用最小二乘进行拟合求得Sd为瞬间沉降；S∞为最终沉降量。优化后的求解方法使得最终沉降量和瞬间沉降量预测不仅由3点数据来决定，而是由所有观测数据来预测，更具可靠性，理论上提高预测精度。

1.4 指数法

1)指数法的基本表达式为

(11)

式中：未知量为最终沉降量S∞和常数η。对上式进行变换后得到

(12)

(13)

所有改进的方法都是通过二次自适应最小二乘迭代的思想进行修正，通过二次重构方法将以得到参数重新迭代到式中，并使用最小二乘方法再次求解未求得的各参数或最终沉降量，达到使拟合更加贴近真实情况，使最终预测值更加真实可靠的目的。

2 技术标准

《客运专线无砟轨道铁路设计指南》及《新建时速200～250 km客运专线铁路设计暂行规定》中对我国轨道路基的工后沉降进行了如下规定：当设计时速为200

《客运专线铁路无碴轨道铺设条件评估技术指南》规定：曲线回归的相关系数不得<0.92，因此，本文以相关系数是否达到0.92作为评价预测方法适用性的主要标准。文中相关系数采用数理统计中的定义计算：

(14)

相关系数表示预测值与实测值走势、趋势是否相符，并不能够估计误差的大小，所以引进误差平方和进行评定预测值拟合精度。

3 曲线拟合的应用研究

3.1 工程实例

兰新高铁全线铺设防开裂的双向预应力CRTSⅠ型双块式无砟轨道，设计时速250 km。过渡段重点变形监测范围为过渡地段前后10 m的路基，本文分析了路隧过渡段K219+547、K219+552、K219+557三个断面18个月的监测数据；路桥过渡段K235+430、K235+420两个断面6个月的监测数据。以两组不同过渡段的现场实测数据对曲线拟合方法以及优化方法就适用性、可靠性及稳定性进行分析研究。

分两处研究其主要目的是分析各种方法在不同构筑物过渡段之间沉降预测的适用性，各种方法是否具有普遍性。

3.2 路隧过渡段数据分析研究

路隧过渡段选取隧道进口前重点监测的10 m范围内的三个断面进行研究分析。由于特殊原因，第5—10月份高铁进行全封闭调试，无法进场监测，到第10月份才得已恢复监测，所以中间有一段间断期。

间断期并没有对数据拟合分析产生较大影响(见图1)。在第10月、第11月份预测值偏差较大，整体分析并没有受到影响。由于18个月的时间比较长，而且是按月为周期进行监测的，如果按天计算的话，计算量大、周期难以把握等因素可能使得拟合偏差较大，本文以月为计算单位进行拟合。为了验证长期监测数据按月进行拟合更方便、更可靠，进行了数据对比分析。

从断面K219+552可以看出(见表1)所有改进的算法在不降低算法的相关系数的前提下，使得各自的误差平方和大幅降低，使得预测曲线更接近真实情况，预测精度更高。而且可以看出改进后的最终沉降量范围为17.891～19.832 mm相差1.941 mm，而未改进的方法最终沉降量范围15.958～19.731 mm相差3.773 mm，改进后的方法最终沉降量预测范围比未改进的预测范围缩小了一倍。

从三个断面的拟合预测数据分析中可以看出(见表2—表4)，按天进行曲线拟合相关系数有一些曲线不足0.92，而按月进行预测其相关系数都大于0.92；按月进行拟合的曲线预测值误差平方和(除了指数法)都小于按天进行预测的误差平方和；按月进行预测的最终沉降量范围较小，波动性小。双曲线法、Asaoka法、三点法和指数法都适用于路隧过渡段的预测，按月进行预测分析的数据明显优于按天进行预测，而且改进的拟合方法都优于原拟合方法，在路隧过渡段的预测中改进的指数法是最优的。

图1 断面K219+552实测值与模型预测曲线

断面K219+552双曲线法预测值Asaoka法预测值改进的Asaoka法预测值三点法预测值改进三点法预测值指数法预测值改进指数法预测值相关系数0.949 0.952 0.959 0.963 0.963 0.964 0.964 误差平方和/mm232.944 70.491 27.185 22.495 21.888 69.351 21.343 最终沉降量预测/mm19.731 17.891 17.891 19.525 18.994 15.958 19.832

表2 断面K219+552曲线计算对比表

表3 断面K219+547曲线计算对比表

表4 断面K219+557曲线计算对比表

3.3 路桥过渡段数据分析研究

路桥过渡段数据监测也是按月为周期进行监测，进行了5个月的连续监测与实测值进行对比(见图2)，对于短期数据进行分析研究曲线拟合的适用性等其他条件。

图2 断面K235+430实测值与模型预测曲线

从断面K235+430可以看出(见表5)改进优化方法对短期监测数据也有很好的适用性，相关系数都有所提高，误差平方和基本上有所降低。改进后的方法最终沉降量在4.571～5.229 mm相差0.658 mm，未改进的方法最终沉降量预测3.310～5.229 mm相差1.919 mm，可见改进后的方法对最终沉降量预测有明显提高。

对于短期数据分析研究发现按天或是按月拟合数据，相关系数和误差平方和相差并不大，只是在最终沉降量上，按月进行预测其波动性、范围较小，更加具有指导意义。而且对于高速铁路客运专线沉降观测数据而言，整体变形量较小，观测数据难免出现起伏波动的现象，导致应用指数曲线法进行沉降预测时，一些断面无法进行正常计算。因此，指数曲线法不能直接适应高速铁路客运专线沉降量小、数据起伏波动大的监测数据。

表5 路桥过渡段曲线拟合结果

4 结 论

高速铁路过渡段线下、周围环境情况复杂，其变形情况较普通路基变形有很大不同，研究传统曲线拟合方法在路隧、路桥过渡段中的适用性对高速铁路后期运营维护有很重要的意义。通过采用自适应二次最小二乘迭代的思想将Asaoka法、三点法、指数法进行优化改进，提高了传统曲线拟合的精度和预测最终沉降量的可靠性。通过实测数据的分析研究可以归纳几点：

1)双曲线法、三点法、Asaoka法、指数法在路隧、路桥过渡段具有较强的适用性和普遍性，都达到了相关系数R≥0.92的要求，而改进的Asaoka 法 ，三点法和指数法通过数据验证则具有更强的适用性，只是数据的波动会造成指数曲线法无法正常计算。

2)改进的Asaoka法 ，三点法和指数法不论在长期还是在短期的监测数据拟合精度上都要优于传统曲线拟合的精度，对于最终沉降量的预测，优化后的预测值其稳定性、可靠性明显高于传统预测方法。

3)曲线拟合长期监测数以月为计算单位预测精度远好于按天进行预测，因为实际监测中按天进行监测周期波动性较大，并不能完全做到整周期监测。短期监测按天按月进行曲线拟合，拟合精度相差不大，只是在最终沉降量预测上按月进行预测波动性较小。本文建议曲线拟合按观测周期进行曲线拟合，按月或按周进行拟合，短期监测数据可以按天进行曲线拟合。

4)根据路隧、路桥各个断面最终沉降量预测值表明，过渡段工后最终沉降量<50 mm，满足规范要求，可以判断路基工后沉降满足无砟轨道铺设条件。

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