杨 帆，周红满，谢佳君
(辽宁工程技术大学,测绘与地理科学学院，辽宁阜新123000)
边坡非线性位移的Verhulst-ARMA组合预测模型研究
杨帆，周红满，谢佳君
(辽宁工程技术大学,测绘与地理科学学院，辽宁阜新123000)
摘要：针对ARMA模型中时序变量自身变化的复杂性及其预测的不确定性，利用Verhulst提取非平稳时间序列中的趋势项，再对剩下部分采用平稳时间序列建模，建立Verhulst-ARMA组合预测模型。运用文中组合模型对三峡某边坡滑移的实测数据进行分析，验证Verhulst-ARMA组合模型在边坡非线性位移预测中的可靠性和适用性。
关键词：Verhulst模型；GM(1,1)模型；时间序列；组合模型；位移预测
边坡位移作为边坡内部多因子相互作用的宏观表现，具有很强的不确定性。边坡变形预测一直是边坡工程的重大难题；而时间序列预测模型是诸多预测模型的核心和基础。近年来，国内外不少知名学者提出了对ARMA模型的改进与使用范围的研究，并取得了许多成功的经验[1-5]。同时，灰色理论等预测方法也得到了长足的发展。
然而，通过实践分析可以发现，各种方法都有其优缺点。例如：时间序列对于中长期预测有较好的拟合效果，但它要求数据平稳、正态和零均值[6]，这在工程中很难满足。因此，本文提出了Verhulst-ARMA组合模型的思路，综合利用Verhulst和ARMA模型的优势，利用Verhulst模型提取趋势项，进而利用ARMA模型模拟平稳随机序列，充分利用数据，达到较好的拟合和预测效果。
1基本原理
1.1 ARMA(n,m)模型
对于平稳、零均值的时间序列{xt}，若xt的取值不仅与前n步的各个取值有关，还与前m步的各个干扰项有关，则有一个n阶自回归m阶滑动平均模型ARMA(n,m)
(1)
1.2 Verhulst模型
设X(0)为原始数据，做一次累加生成(1-AGO)序列X(1)，X(1)的紧邻均值生成序列[7]为
(2)
(3)
2Verhulst-ARMA组合模型的建立
2.1 建模思路
边坡非线性序列{xt}的趋势项为{dt}，平稳随机部分为{εt}，则称xt=dt+εt为Verhulst+ARMA组合模型。dt为Verhulst趋势项，εt为提取了趋势项后的随机项。
2.2 提取趋势项
在实际边坡变形问题中，常遇到原始数据本身呈饱和S型的过程，其流程如下：
1)取原始数据为X(1)，对其做一次累减，生成1-IAGO序列X(0),并构造紧邻均值Z(1)。
2)构造如下矩阵：
(4)
3)按照最小二乘法估计a,b参数。
(5)
4)原始数据的预测公式
(6)
显然，式(7)描述了{xt}随时间t的变动趋势dt。即可以用Verhulst来提取非平稳时间序列{xt}中的趋势项
目前，我国各大高校都在加强与韩国高校的学习与交流，一些学生也会选择去韩国留学进行学习与交流，通过对韩国文化以及风土人情的直接接触使其韩语学习得到很大帮助，提高了韩语交流水平。但获得出国交流机会的毕竟只有少部分人，大多数学生只能在学校进行韩语知识的学习，教师通过韩语知识的部分讲解，致使学生对韩国文化以及语言文化的了解与认知较为浅显、片面，导致学生的韩语交流能力得不到提高。
(7)
2.3 平稳随机序列分析
由原始序列减去趋势项即可得到剩余部分的随机序列{εt}。
(8)
在将随机序列输入时间序列模型之前，必须对其进行标准化处理，使之满足平稳、零均值、正态的要求。标准化处理方法为
(9)
利用时序的自相关函数和偏相关函数估计值的截尾性和拖尾性来判断时间序列是否满足AR或MA模型，否则认为满足ARMA模型。但是，若截尾性和拖尾性有时表现不明显，很难用上述方法判断[8]。根据文献[9]可知，当用于预测时，宜采用AR模型。
2.3.3 AR模型阶数和参数的估计
对于AR(p)模型中p的选择，必须根据实测数据，采用合理的方法来确定。本文分别采用Akaike[10]建立的AIC准则、BIC准则、FPE准则来选择出合适的阶数估计值。
(10)
按式(11)预测出来的是预处理后的正态零均值序列，因此必须将其还原，由式(10)可知
(11)
2.4 Verhulst-ARMA(n,m)组合模型的建立
由2.2和2.3可知：利用Verhulst模型得到非平稳时间序列的趋势项，利用平稳时间序列ARMA(n,m)模型得到随机项，由此两部分组成的组合模型为
(12)
3工程验证
3.1 数据来源
本文利用长江三峡水利枢纽工程永久船闸岩石边坡[11]TP26GP03号位移监测点的监测数据对Verhulst-ARMA(n,m)模型进行了验证。具体数据见表1，
表1 监测点的观测值
3.2 模型分析
3.2.1 Verhulst-AR模型的分析
由表1可以看出，该段时间内的数据类似于“S”型，具有指数序列的一般性质。
因此，根据上述原理建立Verhulst-AR模型，利用Matlab编程拟合与预测数据，其结果见图1~图3。
图1 Verhulst-AR模型的拟合情况
图2 AR模型的拟合情况
图3 Verhulst-AR模型的残差情况
从图1~图3可以看出，单一的Verhulst模型和AR模型的拟合和预测精度都不高，而组合模型Verhulst-AR的精度却大大提高了。
3.2.2 GM(1,1)-AR模型的分析
由于监测点在该段时间内呈“S”型，具有指数曲线的一般特征，因此可以利用GM(1,1)进行预报，其预报结果见图4。
由图4可以看出，在本文数据下，GM(1,1)的预报精度过低，并不适合预报。
类似地，先采用GM(1,1)提取趋势项[12-13]，再利用ARMA处理剩余部分，结果如图4、图5所示。
图4 GM(1,1)-AR模型的拟合情况
图5 GM(1,1)-AR模型的预测情况
从图4、图5可以看出，单一的GM(1,1)模型的拟合和预测精度都不高，而组合模型GM(1,1)-AR的精度却大大提高了。
3.2.3 两种组合模型的分析
两种组合模型的拟合与预报结果见图6、图7。
图6 两种组合模型的拟合情况
图7 两种组合模型的残差情况
从图6、图7可以看出，两种模型都能很好地拟合出呈“S”型趋势的位移序列，但是Verhulst-AR模型的拟合与预测精度比GM(1,1)-AR模型的精度高。
4结束语
1)ARMA模型无法揭示序列的发展趋势和动态特征，但Verhulst-ARMA模型充分利用了两种预测方法各自的优点，不仅能说明序列的发展趋势，而且还能进行短中期预报，并且具有较高的精度，能够较好地解决边坡位移(呈“S型”或“单峰型”)的预测问题。
2)对于呈“S”型或“单峰”型的边坡位移序列，Verhulst-AR模型的拟合与预测精度比GM(1,1)-AR模型要高。
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[责任编辑：刘文霞]
Research on Verhulst-ARMA combination forecasting model of slope nonlinear displacement
YANG Fan,ZHOU Hong-man,XIE jia-jun
(School of Geomatics,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China)
Abstract：For the complexity of timing variables’ self-variation and uncertainty of prediction in the ARMA model，Verhulst is used to extract the trend item of non-stationary time series， and the remaining parts are modeled in stationary time series. A Verhulst-ARMA combination forecasting model is established. This model is used to analyze the measured data of slope sliding on the three gorges and the reliability and applicability of the model in slope nonlinear displacement prediction are confirmed.
Key words：Verhulst model；GM(1,1) model;time series；combined model；displacement prediction
作者简介：杨帆(1972-)，男，教授，博士.
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50604009)；辽宁省“百千人才工程”人选资助项目(20100921099)；对地观测技术国家测绘地理信息局重点实验室经费资助项目(K201106)
收稿日期：2014-09-20
中图分类号：P642.22
文献标识码：A
文章编号：1006-7949(2015)12-0017-04
