张跃

[摘 要] 数学建模是数学学科的重要思想，也是数学教学的重要内容. 农村初中生由于生活经验对数学知识构建与问题解决支撑作用相对薄弱，因此更需要基于数学模型来获得数学认知. 将数学建模上升为建模思想，进而基于建模思想寻找数学教学的有效策略，是有价值的选择. 建模思想首先面向教师，同时面向学生. 建模思想下的农村初中数学教学策略可由关注实例策略、建模的直觉意识培养策略，以及学习反思策略等组成.

[关键词] 农村初中；初中数学；建模思想；教学策略

建模对于数学教师来说并不是一个陌生的词汇，无论是在课程改革中，还是在核心素养的背景下，数学建模历来都是数学教学的一个中心任务. 目前，对数学建模的理解基本上可以分为两个层次：一是其基本含义，即数学建模就是建立数学模型（其间会用到数学抽象、逻辑推理等方法，同时也涉及数学符号与数学语言的具体运用）；二是其在问题解决中的应用含义，即数学建模被理解为运用数学模型解决实际问题的过程，这里同样涉及对实际问题的抽象、简化等. 笔者从教于农村初中，深感农村初中孩子所具有的知识面相对狭窄，但生活经验却相对丰富，且逻辑推理能力并不比城区学生弱的特点，于是考虑将数学建模上升为“建模思想”，以使其成为数学教学的主线索，从而驱动农村初中数学教学有效化. 同时在实践中，坚持在这样的思路下总结相应的教学策略，最终形成如下三点认识.

从建模到建模思想，是教学策略形成的源头

数学建模在很多教师的意识中，更多的是以教学方法、教学模式等形式存在的，这种物化的思路可以让学生在建模具体的数学知识时表现出较大的效益，但从整个学生学习的过程来看，如果将建模上升为建模思想，并使之成为教师主要的教学思路之一，就可以让数学教师立足于一个坚实的基础之上，并由此衍生出更为有效的教学策略.

其实，关于模型思想，着名数学教育家史宁中教授在解读《义务教育数学课程标准》的时候，就重点强调了其中的一点，即“要初步形成模型思想”. 这样的界定使笔者意识到建模思想既应当是教师的教学思路，也应当是学生数学学习的重要思路. 即教师所建立的建模思想最终要变成学生的数学学习意识，才可以更好地驱动学生建构数学知识.

那幺，建模思想到底是一种什幺样的思想呢？笔者在实践的基础上建立的理解是这样的：教师在教学中，有两个基本认识. 其一，一个数学概念或规律的建立，需要让学生经历分析生活事例并进行抽象，且要努力放大这样一个学习过程. 即数学教学不仅要立足于数学知识的形成结果，还要注重其生成过程. 譬如，教学“勾股定理”时，如果本着应试的思路，那只要让学生记住a2+b2=c2就行了，因为很多习题就是靠这个关系式获得解决的（实际教学中，本着这样的思路，是可以取得应试的成功的）. 但从学生数学学科核心素养提升的角度来看，这样的教学显然不可取. 勾股定理是初中数学中为数不多的有着数学探究与数学文化意蕴的内容之一，经历实例分析与抽象，再得出勾股定理，这样的教学过程更容易让学生形成立体认识，也能够在学生的思维中生成关于勾股定理的模型（包括表象与解题思路），从而为其后的问题解决奠定基础. 其二，一个数学问题的解决，要重点突出其中模型运用的过程. 只有教师立足于数学模型的建立，而不是简单地获得问题的答案时，其教学思路才有可能集中在数学模型之上，这样的教学重心与思路的确立，才是模型思想及其相应教学策略形成的基础.

学生学习时，保证建模思想及其策略落地的关键，在于学生要能够在具体的学习过程中体会数学模型建立的过程，并且能够体验到其效用，必要的时候要将建模思想由隐性方式向显性方式转变，即让学生清晰地认识到自己所获得的数学概念与所解决的数学问题，就是靠模型思想才得以成功的. 这种基于建模思想而获得的非智力因素动力，是建模思想及其策略发挥作用的重要保证.

建模思想衍生策略，是教学策略运用的途径

那幺，在具体的教学中，如何基于建模思想生成有效的教学策略呢？笔者通过总结，提出如下三点策略供同行们批评、指正.

1. 关注实例策略

建模本身是从实例到模型的一个抽象、推理过程，如果失去了对实例的关注，那教师所建立的建模思想及策略就不可能真正落地. 关注实例，最好是关注具有生活与数学意义兼具的实例. 例如，教学“勾股定理”时，教师常常会基于毕达哥拉斯在朋友家研究地砖的故事建立勾股定理，但到了勾股定理的应用中，就变成了海量的习题训练. 从数学模型建立与应用的角度来看，这样的思路显然有些虎头蛇尾. 笔者在得出勾股定理之后，没有立即转向习题，而是给出了这样一个实际问题：在讲台上竖立一根柱子（已知其高度与周长），然后在其上绕线，问学生如何估算所绕线的长度.

这个问题来自一个中国古代问题：木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何. 题意是：如图1，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是多少尺？实际教学中，可直接向学生呈现此问题，笔者之所以做改编，是想让学生有亲切感（这更符合初中生数学学习的心理需要）. 而在此刻向学生呈现这一实际问题，很容易培养学生带着勾股定理的思路去关注实例的习惯.

2. 基于建模的直觉意识培养策略

真正有效的建模思想教学策略，一定需要培养学生良好的数学直觉，也只有学生带着数学直觉去关注事物时，才能说数学建模的思路得到了确立. 在上例中，带有数学实验性质的体验过程，可以让学生经历一个较为全面的实例获得过程（因为笔者具体做的时候，柱子侧面是有一条直线的，绕线时特地提醒学生出发点和终点就在这根直线的端点上）. 学生需要思考的是绳子的长度与已知柱子的高度及底边周长有什幺关系. 由于没有直接的直角三角形存在，因此学生还需要重点思考直角三角形从哪里来. 这个构思直角三角形的过程，其实正是建模直觉意识培养的关键. 因为构思直角三角形的过程，就是学生带着勾股定理应用去寻找、发现直角三角形的过程.

3. 学习反思策略

学习反思存在于数学概念建构成功或问题解决成功之后，类似于一个“反刍”的过程，而这正是初中生数学学习的一个盲点. 很多学生在得出数学概念之后，在问题解决之后，都会下意识地认为学习已经结束. 而如果此时强调学习反思策略，让学生重整自己的学习或问题解决思路，就可以让学生原本的数学思维清晰化，更可以让学生认识到数学建模在此过程中所起的重要作用. 比如上面的例子中，当学生发现“放开的绳子”与柱子的高、底边周长的圈数倍数构成直角三角形的斜边、高、底边时，就会意识到勾股定理在这个问题解决中的存在. 这样的反思，可以提纯学生的思维，将思路牢牢锁定在勾股定理上，而这就是数学模型在问题解决中进一步清晰化的关键之举.

这里需要特别注意的是，当面向的学生是农村学生时，很多时候需要关注他们原有的生活经验与认知方式，给予他们更多熟悉的事例，帮他们建立有效的表象，这样才能驱动他们并不逊色于城区学生的数学思维，从而完成数学模型建构，进而解决数学问题.

建模思想驱动教学，是教学策略研究的关键

研究建模思想背景下的农村初中数学教学策略，最关键的一个抓手，是以建模思想驱动教师的教学. 而这就意味着教师教学思路的转变，意味着教学习惯的重新打造，意味着课堂教学范式的重新建构.

数学建模原本就是一个容纳了数学基础知识、基本技能、基本思想方法与基本活动经验的综合性过程，数学建模衔接着学生的原有数学基础、生活经验与新学数学知识的关系，又衔接着数学知识与问题解决之间的关系. 同时，农村初中生因为认知素材的相对缺乏，需要更多的数学思想来构建数学知识，因此以建模思想驱动农村初中数学教学极为适切.

以建模思想驱动农村初中数学教学的另一层意蕴，在于教师与学生基于数学模型及其建构形成一对融洽的教与学的关系. 上面提到的两种衔接关系的存在就超越了简单的数学知识学习与运用，其不仅符合课程改革中提出的“用数学教”的思想，而且对提升学生的数学学科核心素养，让学生带着数学建模思想去观察、分析、审视身边事物带来了极大的好处. 因此，基于“建模思想”研究初中数学教学策略，应当说是核心素养培育背景下数学教师的专业成长重心，值得提倡.