吕志元
[摘 要] 函数与几何综合题的突破难度较大，需要综合知识方法，巧妙转化问题构建解题思路. 合理选用解题方法对于考题突破极为关键，文章将以一道函数与几何考题为例，开展解析探究，进行解法拓展并反思教学，提出几点建议.
[关键词] 函数;几何;面积;菱形;存在性
函数与几何是初中数学两大重要的知识模块，实际考查时常以函数为背景，联系几何图形来构建图像. 图像上的点不仅可以作为求解函数解析式的工具点，也可作为几何图形中的顶点、交点等关键点用以探讨几何性质. 函数与几何综合题的问题形式也极为多变，如求函数解析式、探究几何面积、分析特殊图形是否存在等. 充分把握函数与几何的知识关联，从点坐标出发，推演线段长，联系几何性质构建思路是常用的策略.
问题探究
函数与几何题的设问形式多变，第（1）问通常与函数解析式相关，属于基础问题，第（2）（3）问则融入几何特性、动点等内容，综合进行考查，下面以一道中考压轴题为例，进行深入探究.
1. 问题呈现
（2020年重庆市中考A卷第25题）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（-3，-4），B（0，-1）.
（1）求该抛物线的函数表达式;
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值;
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标;若不存在，请说明理由.
2. 问题解析
（1）求抛物线的函数表达式，可采用待定系数法，分别将点A和B的坐标代入抛物线的解析式中，可得9-3b+c=-4，c=-1，解得b=4，c=-1，所以抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1;
（2）该问解析△PAB面积的最大值，其中点A和B为定点，则线段AB固定，于是△PAB面积的大小将由线段AB上的高决定，那幺问题就是求抛物线上到AB最大距离的点，可采用作平行线的方法. 过AB的平行线l，当l与抛物线仅有一个交点时，该交点就为△PAB取得最大面积时点P的位置，如图2所示. 同时设l与y轴的交点为N，根据等面积法可知△PAB与△NAB的面积相等.
设直线l的解析式为y=x+d，与抛物线的解析式联立，整理可得x2+3x-1-d=0，由判别式Δ=0可得d=-，则直线l的解析式为y=x-，进而可求得点N的坐标为0，-. 将△NAB视为是以BN为底，点A为顶点的三角形，则底BN=，高h=3，则△NAB的面积为S=××3=，所以△PAB面积的最大值为.
（3）第三问涉及抛物线平移以及菱形存在性探讨，但题干没有设定菱形的结构，解析突破分两步进行：第一步推导平移后抛物线的解析式，第二步分类讨论菱形存在性，求解点E的坐标.
将抛物线向右平移2个单位长度，则将抛物线化为顶点式更为简单，即y=（x+2）2-5，则平移后的抛物线解析式为y=x2-5，点C为两抛物线的交点，联立可得点C（-1，-4）. 点D位于直线x=-2上，可设点D（-2，m），设点E（s，t）. 点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形存在两种情形：BC为菱形的边，BC为菱形的对角线，下面分别讨论.
情形一：当BC为菱形的边时，根据平移关系可知：-2+1=s且m+3=t①，或者-2-1=s且m-3=t②;
当点D位于点E的下方时，则有BE=BC，即s2+（t+1）2=12+32③，当点D位于点E上方时，则有BD=BC，即22+（m+1）2=12+32④，联合①和③可解得s=-1，t=2或-4（舍去-4），所以点E的坐标为（-1，2）;联合②和④可解得s=-3，t=-4±，所以点E的坐标为（-3，-4+）或（-3，-4-）.
情形二：当BC为菱形的对角线时，由中点公式可得-1=s-2且-4-1=m+t⑤，此时BD=BE，则22+（m+1）2=s2+（t+1）2⑥，联合⑤和⑥可解得s=1，t=-3，所以点E的坐标为（1，-3）.
综上可知，存在点E使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为：（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.
解法拓展
本题目为典型的函数与几何压轴题，第（2）问探究三角形面积的最大值，属于面积问题，采用了等面积转化的方法，第（3）问探究菱形是否存在，属于存在性问题，上述对菱形的结构进行了分类讨论，充分利用线段长来构建方程. 实际上，函数与几何典型问题具有多种解析方法，从不同的视角探究可获得不同的解题思路，下面变换思路对后两问进行拓展探究.
1. 构建面积模型求面积最值
第（2）问涉及动点三角形，其特点为三角形的三边均与坐标轴不平行，为“不规则”图形，则可采用铅垂法构建最值模型. 如图3，过点C作y轴的平行线，与AB的交点设为D，再过点A和B分别作x轴的平行线和垂线，则△ABC的面积可视为是共底△CDA和△CDB的面积之和，其中CD为模型的“铅垂高”，点A和B的水平距离为模型的“水平宽”，则对应面积为S=S+S=·CD·x-x.
利用上述的“铅垂模型”求第（2）问△PAB的面积. 过点P作y轴的平行线，设与AB的交点为M，如图4所示. 则MF为模型的“铅垂高”，点A和B的水平距离为水平宽. 点P位于抛物线上，可设其坐标为（t，t2+4t-1），点A和B的水平距离为3，由点A和B的坐标可求直线AB的解析式为y=x-1，则点M的坐标可以表示为（t，t-1），可得PM的长度PM=-t2-3t. 所以△PAB的面积S=·PM·x-x=×3×（-t2-3t）=-t+2+，分析可知，当t=-时，S可取得最大值，即△PAB面积的最大值为.
拓展：“铅垂模型”有两种类型，除了上述构建方法外，还可以过点B作x轴的平行线作为“铅垂高”，如图5，则△ABC的面积可以视为是共底△CDB和△ADB的面积之和，该模型中有S=S+S=·DB·yC-y. 上述第（2）问使用铅垂法构建模型时采用了类型一，这是因为点A和B的坐标已知，可直接获得模型的水平宽，若采用类型二则所构模型较为复杂，会增加思维难度.
2. 利用画圆定位确定菱形位置
菱形是特殊的几何图形，其特殊之处不仅表现在图形为四边相等的平行四边形，菱形还是轴对称图形，含有两条相互垂直的对称轴，同时对称轴可将图形分割为全等三角形. 在实际探究时可以其中一个顶点为圆心，以菱形边长为半径，通过画圆弧来确定其他未知顶点的位置.
以上述考题第（3）问为例，只要以D、C、B构成等腰三角形，则菱形一定存在.
对于情形一，BC为菱形的对角线，可直接构建模型，如图6，点G为菱形两条对角线的交点，利用直线解析式以及中点坐标公式可求出点E（1，-3）.
对于情形二，BC为菱形的边长，则可分别以点B和C为圆心，以BC长为半径画弧来构建菱形.
①以点B为圆心，以BC长为半径作弧，与直线x=-2相交于两点，可分别构建菱形，同时点E可位于点D的下方，也可位于其上方.
当点E位于点D的下方时，如图7所示. 过点B作直线x=-2的垂线，设垂足为点H，在Rt△BDH中可解析出点D（-2，-1-），D可视为点B向左平移2个单位，再向下平移个单位得到的，而点E相对于点C的平移过程是一致的，可知点E（-3，-4-）;
当点E位于点D的上方时，如图8所示. 其求法与上述求法一致，点E可视为点C向左平移2个单位，再向上平移个单位得到的，即其坐标为E（-3，-4+）;
②以点C为圆心，以BC长为半径画圆弧，与直线x=-2又可得到两个交点，如图9所示. 过点C作直线x=-2的垂线，设垂足为点K，可求出DK=3，则点D的坐标为（-2，-1），利用平移法可得点E的坐标分别为（-1，2）和（-2，-7），而点（-2，-7）恰好位于直线BC上，无法构成菱形，需要舍去.
综上可知，满足条件的点E有四个，其坐标分别为（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.
反思建议
函数与几何问题是初中数学的综合性问题，其解析思维和突破方法较为复杂，从解析视角来看可分为几何解析和代数运算推导. 几何解析侧重图形特性分析，关键点位置推导，在定位时利用代数运算辅助思考，如利用中点坐标公式求点，联立曲线与直线方程求点等. 而代数运算推导则侧重构建方程，辅助利用几何特性，最为显着的是勾股定理、等腰特性构建方程，利用相似关系建立比例关系等.
开展函数与几何考题探究教学，需要指导学生进行知识梳理，关注函数与几何的关联点，构建完善的知识体系. 强化基本方法，包括求解析式的方法、面积模型的构建技巧、等面积转化方法等. 教学过程需注重思路讲解，可采用设问的方式引导学生思考，逐步进行问题转换，提升学生的数学思维. 函数与几何问题的解法较多，探究过程可适度开展一题多解，引导学生全面探究考题，认识综合性问题的解析视角，拓展解题视野.
