叶文明 李 阳
(浙江松阳二中 323406)
李阳(1991-)，男，中学二级教师，从事高中数学教学研究.
选择题是高考三大题型之一,在高考中占有相当大的比重.不少学生数学得分之所以不高,关键在于选择题的得分不理想所致.选择题的解法多种多样,其中数形结合是及其重要且常见的解法.具有图形特征的选择题常用这种方法,当题目已知没有图象或已给的图象不易解决,不够清晰时,常可构造符合题目已知条件的特殊图形辅助解题,从而避免小题大做,在有限的时间内尽可能提高解题效率.
图1
例1(2020年浙江省高中学业水平考试模拟卷六)如图1,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,E，F分别是棱AD，BP上的动点,且满足AE=2BF,则线段EF的中点的轨迹是( ).
A.一条线段 B.一段圆弧
C.抛物线的一部分 D.一个平行四边形
解析解决此题常规方法为作辅助线,利用三角形的相似解决.但很多学生面对已给图形毫无思路,无从着手,为此可构造满足已知条件的特殊图形来解决.
图2
如图2,在正方体中取P-ABCD,则四棱锥P-ABCD符合已知条件.不妨令边长为2,AE=4t,BF=2t.如图2建立直角坐标系,则E(2,4t,0),F(0,0,2t),于是EF中点H(1，2t,t).因为点H的横坐标x=1,即点H过点(1,0,0),且与x轴垂直的平面上.即如图所示的虚线正方形MNOQ上.又纵坐标y与竖坐标z满足y=2z,它是正比例函数,图象是一条直线,从而正确答案为A.
图3
例2(2019学年浙江丽水期末监控卷)如图2,在三棱锥P-ABC中,PB=BC=a,PA=AC=b(a A.α+∠PCA+∠PCB>π,2α<∠PAC+∠PBC B.α+∠PCA+∠PCB<π,2α<∠PAC+∠PBC C.α+∠PCA+∠PCB>π,2α>∠PAC+∠PBC D.α+∠PCA+∠PCB<π,2α>∠PAC+∠PBC 解析解决本题需用到内角和、二面角、线面位置等相关知识,稍显繁琐.但如图4构造特殊图象,本题将迎刃而解. 图4 由已知条件,不妨令△PBC和△PAC分别为等腰直角三角形和等边三角形,为此可构造如图4所示的长方体. 事实上,本题构造如图5所示的正方体更易得出正确答案. 图5 解析常规解法为利用已知条件得出λ与μ的关系式,然后利用基本不等式消元得出正确答案.但很多学生不能在有限的时间内得出λ与μ的关系.其实,本题若构造符合条件的特殊梯形更易得出结论. 图6 如图6构造直角梯形,并建立坐标系,为了计算方便,不妨设AB=6.由已知易得A(0,0),B(6,0),C(3,3),D(0,3),E(5,1). 图7 解析本题以空间几何体为载体,结合向量设计题目,体现了直观想象、数学运算等数学核心素养.常规解法是利用已知得出向量共面,再通过辅助线得到x,y的关系,最后利用基本不等式即可解决问题,主要考查学生的运算求解能力,化归与转化能力,但是很难想到.为此可构造如图8的正方体. 图8 所以(2x+1)+(2y+2)=5. 所以,正确答案选B. 图9 A.2 B.4 C.6 D.8 图10 解析本题考查线段垂直平分线的性质及向量的运算,属中档难度.考虑到选择题的特点,不妨如图10令O,A,B三点共线,并建立坐标系.则A(4,0),B(2,0),P(3,t).于是,P=(3,t),a=(4,0),b=(2,0),所以p·(a-b)=6,正确答案为C. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”由此可见，数形结合是数学学习中非常重要的思想。本文通过经典例题精彩地演绎了已知图形与特殊图形之间的转化，从而化繁为简、化难为易，提高了这一类选择题的解题效率,有助于开拓数学解题新思维.
