张 庆
(江苏省徐州市侯集高级中学 221300)
按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点.
一、分离函数法
例1 已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)当a=1且k∈Z时，不等式k(x-1) 解析(1)∵函数f(x)在区间[e，+∞)上为增函数， ∴f′(x)=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞)上恒成立， ∴a≥(-lnx-1)max=-2. ∴a≥-2. ∴a的取值范围是[-2，+∞). (2)当a=1时，f(x)=x+xlnx，k∈Z时，不等式k(x-1) 令h(x)=x-lnx-2(x>1). ∴h(x)在(1，+∞)上单调递增， ∵h(3)=1-ln3<0，h(4)=2-2ln2>0， 存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0， 即当1 当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0， g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增. 令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2， k ∴kmax=3. 点评变量分离是数学中最常见的一类求解方法，本例中除了采用分离变量的方法外，还需要通过函数构造进行求解，这类求解方法的好处在于不需要对问题进行分类讨论，从而使得对问题的求解更加的简便. 例2 设函数f(x)=e2x-alnx. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数； 当a>0时，方程g(x)=a有一个根，即f′(x)存在唯一零点； 当a≤0时，方程g(x)=a没有根，即f′(x)没有零点. (2)证明由(1)可设f′(x)在(0，+∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，所以[f(x)]min=f(x0). (1)讨论f(x)的单调性； ①若f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减. (2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0， 所以不妨设x1 又g(1)=0，从而当x∈(1，+∞)时，g(x)<0. 点评利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，设而不求的方法一般在圆锥曲线中经常遇到，其实在函数问题中，若遇到函数极值，零点问题时该方法也是处理该问题的一种常见处理方式.
二、整体代换法
三、设而不求法
