廖永福
(福建省厦门第二中学 361009)
题目(2013年北京卷理14)如图1，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为____.
解法1(定义法) 点P到直线CC1的距离的最小值就是异面直线D1E与CC1间的距离.
如图2，过点E作EE1∥CC1交B1C1于点E1，连接D1E1，过点C1作C1F⊥D1E1，垂足为点F，过点F作FP0∥E1E交D1E于点P0，则B1E1=E1C1，P0F∥CC1.
图2
在C1C上取点Q，使得C1Q=FP0.
连接P0Q，则四边形P0QC1F为平行四边形.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，C1F⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F，四边形P0QC1F为矩形.
所以P0Q⊥CC1,P0Q⊥PF.
因为P0Q∥FC1，所以P0Q⊥D1E1.
又D1E1∩P0F=F，D1E1，P0F⊂平面D1EE1，
所以P0Q⊥平面D1EE1.
所以P0Q⊥D1E.
即P0Q为异面直线D1E和CC1的公垂线.
在Rt△C1D1E1中，由
C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得
解法2 (等体积法)点P到直线CC1的距离的最小值就是异面直线D1E与CC1间的距离.
图3
如图3，过点E作EE1∥CC1交B1C1于点E1，连接D1E1，则B1E1=E1C1.
因为EE1⊂平面D1EE1，CC1⊄平面D1EE1，
所以CC1∥平面D1EE1.
所以异面直线D1E与CC1间的距离就是直线CC1到平面D1EE1的距离，就是点C1到平面D1EE1的距离.
设点C1到平面D1EE1的距离为d，
因为VC1-D1EE1=VE-C1D1E1，
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以EE1⊥平面A1B1C1D1.
又D1E1⊂平面A1B1C1D1，所以EE1⊥D1E1.
又S△C1D1E1=1，EE1=2，
解法3 (等面积法)如图4，过点E作EE1∥CC1交B1C1于点E1，连接D1E1，过点P作PF∥EE1交D1E1于点F，连接C1F，则B1E1=E1C1，PF∥CC1.
图4
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，C1F⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F.
所以C1F的长就是点P到CC1的距离.
因为点P在线段D1E上运动，所以点F在线段D1E1上运动，当C1F⊥D1E1时，C1F取得最小值.
在Rt△C1D1E1中，由
C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得
解法4 (向量法)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，则C(0,2,0),C1(0,2,2)，D1(0,0,2),E(1,2,0).
图5
所以点P到直线CC1的距离
解法5 (向量法)建立空间直角坐标系同解法4，则D(0,0,0)，D1(0,0,2),E(1,2,0).
所以P(λ,2λ,2-2λ).
又设点P在CC1上的投影为点Q，
则Q(0,2,2-2λ).
解法6(向量法)建立空间直角坐标系同解法4，则C(0,2,0),C1(0,2,2)，D1(0,0,2),E(1,2,0).
取x=2，则y=-1.
所以n=(2,-1,0).
所以异面直线CC1与D1E间的距离为
点评本题主要考查空间距离的求法，正方体的基本结构特征，以及空间线线、线面、面面平行和垂直的判定和性质等，体现了逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.解题关键是熟练掌握各种距离之间的转化方法，属于中档题.
在上述六种解法中，前三种解法是纯几何方法，其中解法1把问题转化为求异面直线间的距离，利用定义法来解；解法2把问题转化为求点到平面的距离，利用等体积法来解；解法3把问题转化为点到直线的距离，利用等面积法来解.后三种解法是向量方法，通过建立空间直角坐标系，以向量为工具把几何问题转化为代数问题，这三种方法分别应用了点到直线的距离公式、两点间的距离公式和异面直线间的距离公式.
可以看出，空间距离的求法虽然很多，如定义法、转化法、等积法和向量法等，但始终渗透着数形结合思想和转化与化归思想.解题时应根据题设条件，灵活选择解法，优化解题过程.
