谢新华
(福建省莆田第二中学 351131)
基金项目：福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题“学科素养视域下‘读思达’教学法的数学课堂应用研究”(项目编号：Fjjgzx20-077).
1 试题呈现
题目(2021年全国新高考适应性考试暨八省联考数学第7题)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C，直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为 ( ).
A.x+2y+1=0 B. 3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
2 试题解析
解法1因为A(2,2)在抛物线y2=2px上，
所以22=2p×2，即p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为y-2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0.
则圆心(2,0)到切线的距离
图1
所以直线BC的方程为
即3x+6y+4=0.故选B.
解法2因为A(2,2)在抛物线y2=2px上，
所以22=2p×2，即p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设B(x1,y1),C(x2,y2)，设直线AB,AC的方程为y-2=k(x-2)，联立y2=2x消去x,得
ky2-2y-4(k-1)=0.
即(y-2)(ky+2k-2)=0.
所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.
解法3因为A(2,2)在抛物线y2=2px上，
所以p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为y-2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0.
则圆心(2,0)到切线的距离
即3x+6y+4=0.故选B.
解法4 因为A(2,2)在抛物线y2=2px上，
所以p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
图2
即x-(b+c)y+2bc=0.
同理可得3c2+6c+2=0.
即b，c是关于t的方程3t2+6t+2=0的两根.
所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.
解法5因为A(2,2)在抛物线y2=2px上，
所以p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
即3x+6y+4=0.故选B.
解法6 因为A(2,2)在抛物线y2=2px上，所以22=2p×2，即p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设B(x1,y1),C(x2,y2)，
即2x-(y1+2)y+2y1=0.
因为AB是圆(x-2)2+y2=1的切线，
所以3y12+12y1+8=0.
所以6x1+12y1+8=0.
即3x1+6y1+4=0.
同理可得3x2+6y2+4=0.
所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.
3 试题变式
变式1设点F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C三点在抛物线上，且四边形ABCF为平行四边形，若对角线|BF|=5(点B在第一象限)，则对角线AC所在的直线方程为( ).
A．8x-2y-11=0 B．4x-y-8=0
C．4x-2y-3=0 D．2x-y-3=0
变式2已知P是圆C:(x-2)2+(y+2)2=1上一动点，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB斜率的最大值为( ).
变式3过抛物线x2=2py(p>0)上两点A,B分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点P(1，-2)，则直线AB的方程为( ).
