张菊辉，陈 杨

(上海理工大学 环境与建筑学院，上海 200093)

为了减少地震作用对桥梁结构的破坏，许多减、隔震技术兴起，如结构基础隔震技术、叠层橡胶隔震技术等。其中，比较前沿的减隔震装置是高阻尼橡胶支座，它是由普通橡胶用硫化技术将橡胶层和钢垫片结合成一体，并添加炭黑、增塑剂、油等材料。这种支座能显着增加结构阻尼和延长结构周期[1]，不仅具有良好的隔震性能，而且能避免发生生态污染[2]，已经逐渐成为铅芯橡胶支座的替代产品。

近20年来，研究者针对高阻尼橡胶支座性能进行了大量实验研究，力学性能如单轴受压受剪[3]、水平双轴受力[4]、多轴受力[5]、等效阻尼比和等效水平刚度[6]等；影响力学性能的因素如速度相关性、加载历程等[7-8]；物理性能如黏性[9-10]、蠕变[11]等，但在探讨适合高阻尼橡胶支座力学性能的本构模型方面研究较少。在有限元分析中，大多直接采用程序自带的温氏模型来模拟高阻尼橡胶支座的本构关系，但该模型对高阻尼橡胶的特征性研究较少。高阻尼橡胶材料的超弹性力学模型是建立在普通橡胶材料基础上的[12]129，因此，本文从普通橡胶材料出发，对比分析了多种用来描述普通橡胶材料在静载作用下的超弹性本构模型，结合高阻尼橡胶本构理论的推导，综述了目前国内外提出的几种能较好模拟高阻尼橡胶支座力学性能的本构模型，为高阻尼橡胶支座的进一步研究提供理论依据和参考。

1 高阻尼橡胶本构理论的引出

尽管已知算法，但将各个元件的应力、应变进行简单叠加从而得出本构方程的这种做法是不可取的。虽然进行“叠加”的思路并没有错，但是忽略了下面3个关键问题：(1)橡胶材料属于一种黏弹性材料，既有固体的弹性又有液体的黏性，而这种黏性会导致应力松弛和蠕变现象，这2种现象与时间和温度2个因素有关；(2)高阻尼橡胶支座在水平剪切实验中的变形涉及大变形弹塑性固体理论，在连续介质力学中，这种大变形会涉及到构架变化，并不能保证未变形前的应力张量在构架变化后其方向和大小不变，故也证明了简单叠加的错误性；(3)简单叠加不能描述橡胶材料的高度非线性[14]，即在静载作用下的非线性弹性行为，在循环荷载作用下的黏弹性行为，在预应力作用后表现的应力软化现象，即Mullins效应。

因此，本构模型的建立要从基本假设入手。建立的本构方程能否真实地反映材料的响应特性，必须满足如下2个基本原则：(1)构架无差异性原理或者客观性要求，即需要寻找材料中的某种场量，该场量能简单地随构架的旋转而旋转；(2)热力学相容性要求，即满足能量守恒定律以及熵增原理。

图1 Yoshida等提出的高阻尼橡胶材料本构模型

1.1 基本假设

对高阻尼橡胶支座的实验研究多在准静态加载条件下进行，Yoshida等[12]131做如下假设：(1)弹性体变形过程绝热；(2)荷载加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能可忽略不计，并且在变形过程中，内能没有变化，弹性体的熵是所有长链分子熵的总和，可以根据热力学公式推导出其满足热力学定律；另外高阻尼橡胶假设为各项同性且均匀和可压缩性材料[15]。其应变能函数W可表示成偏应变能WD和静水压力应变能WH之和，如式(1)所示。

(1)

式(1)右边2项都包含体积变化的影响，其中右边第一项由构型熵的变化引起，第二项由热力学能引起。但式(1)不能定性说明静水压力实验和单轴拉伸实验数据[16]，即使小变形情况也不能做到定性解释。

1.2 弹塑性部分

Yoshida等根据Graesser和Gozzarelli[17]所提出的耗能材料，如钢、铜在无限小变形的本构模型基础上，将其引申到有限变形的问题上，并提出了可以用来描述高阻尼橡胶支座本构模型中弹塑性部分特征的数学表达式，如式(2)所示。

(2)

(3)

(4)

(5)

将式(3)和式(4)代入式(5)可以导出式(6)。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

1.3 超弹性部分

超弹性材料的特征是存在一个潜在(或应变)的能量函数，它是应力S的势能，如式(16)所示。

(16)

式中：φ为潜在势能函数，当以格林应变E为变量的函数用以表示潜在势能函数时，可以将该函数记为应变能密度函数U；c为材料参数，这里两个标量函数的关系如式(17)所示。

U(E)=φ(2E+I)

(17)

式中：I为与E阶数相同的单位矩阵。

由于在橡胶类材料中可以观察到橡胶材料的大变形这一特征。大变形前后的时间间距较短，变形过程中间发生的情况也比较复杂，如应力应变非线性、与时间相关的应力应变响应、Mullins效应等。为了描述功独立于变形路径，需要引用潜在势能函数，其结果是超弹性材料上做功并独立于变形路径。考虑变形状态下每单位参考体积潜在能量从c1至c2的变化，采用Piola-Kirchhoff应力张量S与格林应变E的功共轭形式如式(18)所示。

(18)

可见，储存在材料中的能量仅取决于变形的初始状态和最终状态，并且独立于变形或荷载路径，故也满足基本假设中的构架无差异性。

2 高阻尼橡胶支座超弹性本构模型的选择

2.1 橡胶材料超弹性本构模型的分类

橡胶材料的超弹性本构模型可以分为2大类[18-19]：(1)热力学统计的本构模型。橡胶分子网链的研究是基于非高斯统计模型，这种网链由很多任意方向上长的柔性分子链组成，分子与分子之间通过稀疏的交联点组成分子网络，这也导致了分子之间的连接很弱，所以橡胶的应力应变行为由构象熵决定[18]51。另一方面，这种分子网链结构使橡胶材料能够产生大应变的超弹性变形，构象数会随着分子链段内的内旋运动而改变。当没有外力作用时，分子链总是趋向于熵最大的卷曲构象，当有外力作用时，构象的改变会引起构象熵的改变[20]；(2)唯象学的本构模型。唯象学的描述方法假设在未变形橡胶为各项同性材料，即在橡胶中长链分子的方向是随机分布的，这种各项同性的假设是用单位体积(弹性)应变能密度来描述橡胶特性的，具体分类如表1所示。

表1 有限元分析中的2类橡胶本构模型

1)N为多项式的次数。

2.1.1 多项式形式本构模型

对于各项同性材料，将应变能密度分解为2部分，如式(19)所示。

(19)

(20)

式中：参数N为多项式阶数，材料是否可压缩取决于Di的值，如材料是完全不可压缩的，那幺所有的Di都为0。

2.1.2 Mooney-Rivlin形式和Neo-Hookean形式的本构模型

在多项式本构模型中，如果设定材料参数Cij=0(j≠0)，则得到减缩多项式模型如式(21)所示。

(21)

如果只要保留线性部分的应变能量，可以令完全多项式本构模型中的阶数N=1，即Mooney-Rivlin形式的本构模型为式(22)。

(22)

对于减缩多项式，如果令阶数N=1，则得到Neo-Hookean形式的本构模型如式(23)所示。

(23)

这种模型的优点在于无条件稳定性，即如果已知一种变形方式下应力-应变曲线拟合的材料常数，那幺就能用来在小应变到中等应变的范围内预测其它变形方式的应力-应变曲线[18]54，因此在不知道材料的精确参数情况下，可以选择这种模型。

上述2种本构模型都是采用不变量的线性函数，所以它们的精度相近。由于阶数N的取值比较低(N=1),导致这2种函数在应力-应变曲线中大应变阶段时不会出现拐点，即不会出现陡升行为，但在小应变(<1%)和中等应变(1%～10%)时可以很好地模拟材料特性[13]173，如图2所示。

应变/%图2 各种橡胶材料超弹性本构模型与实验数据对比

2.1.3 Yeoh形式本构模型

在减缩多项式的基础上令阶数N=3，可以得到Yeoh形式的本构模型,如式(24)所示。

(24)

材料参数C10之间的变化规律[13]173为：如果C10=0(1)，第2个系数将为负数，比第1个系数小1～2个数量级，即小于10-1～10-2，第3个系数再小1～2个数量级并且为正。这种一正一负的数量级关系将产生典型的S型橡胶应力-应变曲线。

2.1.4 Ogden形式本构模型

基于橡胶弹性的分子网络模型，可以通过分子链的伸长来表示，这样得到了Ogden形式的本构模型。该模型的应变能密度函数以3个主伸长率λ1,λ2,λ3为变量[23-25]，具体表示如式(25)所示。

(25)

该模型的优点在于使用伸长率表示应变能密度函数，与用应变不变量表示的Rivlin模型仅有外观上的不同。在有限元分析中，应变能函数无论用应变不变量还是用主伸长率来表示，只要拟合系数足够精确合理，其计算结果都不受影响[26]53。

2.1.5 Arruda-Boyce形式本构模型

Arruda-Boyce模型也称为八链模型，可以通过热力学统计方法得到5个材料参数C值，与唯象学中的模型不同，热力学的材料参数C都具有物理意义。Arruda-Boyce形式本构模型应变能密度函数如式(26)所示。

(26)

初始体积模量K0=2/D，因为函数中只有2个参数，即使已知很少的材料行为，也可以得到本构关系。Kaliske和Rothert证明了这种体积应变能密度表达式可以应用于大部分工程弹性材料，并保证结果足够精确。这2个参数即使数值发生改变，也不会改变曲线形状。如果实验数据得出的曲线形状和该模型预测曲线形状不同，那幺这种本构模型就不能很好地模拟材料特性。

2.1.6 Van der Waals形式的本构模型

Van der Waals模型定义的应变能密度函数如式(27)所示。

(27)

在很多情况下，与Neo-Hookean形式相比，由于Mooney-Rivlin模型中的多项式数量更多，Mooney-Rivlin模型会得到与实验数据更接近的解,如图2所示，但是它们的应变能密度函数都是由不变量组成线性函数，所以它们的精度相近。这2种函数阶数的取值较低，故在应力-应变曲线的大变形部分不会出现拐点，不能表示硬化现象，但是在小应变和中等应变时可以很好地模拟材料特性。Yeoh模型由于特殊量级关系可以产生典型的S型橡胶应力-应变曲线，这也与实验数据曲线形状较为接近。如果橡胶本构模型的基础实验数据齐全，如单轴拉伸、等轴拉伸和平面拉伸数据，尽量采用高阶的Ogden模型或是多项式模型。Arruda-Boyce模型的材料参数只有2个，曲线的形状与这2个材料参数无关，如果实验数据和Arruda-Boyce模型预测的曲线形状不同，这种本构模型就不能很好地模拟材料的特性，而Van der Waals模型相比Arruda-Boyce模型的优点在于可以更好地拟合实验数据，不但可以改变应力-应变的比例，而且可以改变曲线的形状。

2.2 适合于高阻尼橡胶支座的超弹性本构模型

高阻尼橡胶除具有和普通橡胶一样的基础力学性能外，还具有较高的滞回耗能性能[12]129。因此，高阻尼橡胶的超弹性本构模型，应以普通橡胶材料的超弹性本构模型为基础，并考虑高阻尼橡胶在大变形下的强化和应变历史相关性。这里推荐使用的Yoshida等本构模型，如图1所示。该模型在应变能函数式(1)的基础上，引入弹塑性弹簧模拟大变形下的强化和应变历史相关性。具体本构方程如式(28)所示。

(28)

(29)

(30)

最新的研究表明，高阻尼橡胶支座具有速度相关性，会对滞回环面积、屈服后刚度等因素产生较大影响，并对加载速度敏感，因此在其力学模型中必须考虑速度相关性，Bhuiyan等[10]1778使用了流变模型来模拟高阻尼支座的速度相关性。Tsai等[27]在温氏模型的基础上推导出考虑速度相关性的数值模型并应用于有限元分析，上述2种模型都是基于实验得到的支座滞回曲线进行模拟。近年来，对Yeoh模型的研究发现其不能很好地模拟高阻尼橡胶复杂的力学性能，特别是高阻尼橡胶材料初始刚度很大的特性[28]。因此袁涌等[29]74在Yeoh的基础上提出了一个基于改进超弹性Zener模型的高阻尼橡胶隔震支座速度相关性本构模型，模型示意图如图3所示。

图3 改进的超弹性Zener模型

当荷载的施加速度无限慢时，非线性阻尼器将力阻隔，力只从超弹性弹簧A一边通过，故而其平衡应力相当于总应力，这时称模型处于平衡状态。反之，当荷载的施加速度无限快时，非线性阻尼器被视做刚体，总应力等于超弹性弹簧A和B的应力总和，这时称模型处于瞬时反应状态。当处于这2种极限状态之间时，高阻尼橡胶支座的速度相关性可以用非线性阻尼器自带的黏滞性来模拟[29]76。其超弹性的本构方程是在Yeoh基础上提出的一个新的应变能函数，该函数表示为第一应变不变量的多项式，另外使用附加刚度系数α来模拟高阻尼橡胶较大的初始刚度[26]60，具体表达式如式(31)和式(32)所示，Kroner分解示意图[30]如图4所示。

图4 Kroner分解示意图

弹簧A：

(31)

弹簧B：

(32)

式中：CiA(i=1～4)；CjB(j=1～5)；α为橡胶材料参数；WA、WB为弹簧A和弹簧B的应变能密度函数；I1A、I1B分别为弹簧A和弹簧B的应变张量不变量。

3 结束语

高阻尼橡胶的本构理论主要从连续介质力学和黏弹性力学推导而来，而本构模型主要从统计热力学和唯象法两个方面进行研究。唯象法的优点在于通过选取合理的应变能密度函数阶数和材料参数将函数曲线近似趋近于实验数据曲线，针对各种实验工况结果，能够描述材料较大的变形范围。唯象法的缺点是其参数没有物理意义，缺乏对材料本质的认识[18]56。近年来，在统计热力学中以非高斯统计模型为基础的本构模型日益发展，从一定程度上解释了大变形时分子的非高斯特性，由此也找到了以应变不变量表示的唯象学模型和分子统计热力学本构模型之间的一些关系。

由于橡胶材料的特性十分复杂，因此在建立这些理论模型时不得不做一些假设，导致各种模型会出现不足之处。比如假设橡胶变形时是连续的，但高阻尼橡胶支座在大变形前后，其内部中间部分的体积变形至今还未有相关研究，并且在连续介质力学中将内部中间部分看成无限小空间，如图4所示。也就是说忽略了大变形前后材料内部的分子变化。故若将该部分进行完善，那幺高阻尼橡胶支座的本构模型也会进一步发展。在实际应用中，往往有多种因素导致高阻尼橡胶支座在其工作寿命范围内提前失效，其主要原因是：(1)选择的橡胶阻尼性能不理想。影响阻尼性能的因素如损耗因子、玻璃化转变温度以及阻尼峰半高宽温度范围。解决方法是将橡胶的工作温度区域拓宽等，利用的现有技术包括橡胶与高聚物共混、互穿网络聚合物、硫化体系等；(2)高阻尼橡胶支座的选择缺乏相应的理论依据，在选择合适的支座时，应当考虑如桥梁场地工况、伸缩缝长度以及主梁和挡石之间的距离能否满足其变形要求等。现阶段对第二个主要原因的研究相对较少，若能够提出明确的选取标准，则能大大增加高阻尼支座的寿命以及使用率。

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