王 沫，李鹤元，张晓楠
（1．信息工程大学 地理空间信息学院，河南 郑州450000；2．海军大连舰艇学院 海洋测绘系，辽宁 大连116018；3．地理信息工程国家重点实验室，陕西 西安710054）
目前，常用于线状要素和点群要素分形计算与性质研究的主要方法：计盒维数法、信息维数法、半径计数法和关联维数法等。维数计算通常分为三类［1－4］：一是边界维数，采用长度与尺度间的关系计算（Batty M，Longley P A，1988～1989）；二是半径维数，采用密度与尺度的关系计算（Batty M，1991；wnite R，Engelen G，1993）；三是网格维数，采用非空格网数目与尺度关系计算（Benguigui L，Czamanski D，Marinov M，Port ugali J，2000；De Keers maecker M－L，Frankhauser P，Tho mas I，2003）。计盒维数（即格网维数）是其中应用最广泛的维数之一，通常又被称为Kol mogor ov熵、熵维数、容度维数、度量维数、对数密度和信息维数等，通常对点群计盒维数的计算一般采用两种尺度单元去分解地图目标：一是以立方体在二维平面上的投影（正方形）为尺度单元进行计算；二是以d维球体在二维平面上的投影（圆形）为尺度单元进行计算［5，6］。针对解决制图综合适用性要求，龙毅提出一种元分维模型［7］，虽然上述研究都可以计算点群的分维估值，但无法完全适用于海图水深综合的特殊要求。
水深数据作为点群数据的一种，其具有分形的基本特征，即无标度性和自相似性。因此，本文针对水深数据具有分形基本特征和菱形分布的特点，提出了一种基于菱形计盒分维估值计算的水深综合模型，对尺度单元加以修改，采用菱形体在二维平面上的投影作为尺度单元进行分维计算 得到分维估值，从而确定水深数据的综合压缩比（综合后的水深点数目），并以菱形盒子为菱形选取水深的参考网。
1 水深的菱形分布
在数字水深选取过程中，需要对水深综合后水深数目进行确定，为菱形选取水深提供参考。现有的数字海图生产中，大比例尺水深数据的选取所采用的资料大部分是水深黑样，水深黑样是单波束或多波束数据，数据结构相对简单，依靠传统菱形网选取模型可以进行选取；但对于中小比例尺水深数据的综合，往往是在经过水深数据综合后的基础上，进行水深的再综合，其数据源通过人工修整后的数据，基本保持了水深的菱形分布特点。
通常等深线与岸线变化趋势基本相同，基于这一特性布设测线，水深按照规则菱形分布，可以更好地反映水下地形，具体的原则：
1）在垂直海岸或等深线的方向上水深选取较密，在平行海岸或等深线的方向上水深选取较稀。水深密度大，表示海底地形详细，但影响海图的易读性，增加了水深选取的工作量；水深密度小，表示海底地形不够详细，容易出现水深盲区，对航行安全造成影响。确定密度大小本身是一对矛盾体，经过生产实践总结了密度指标［8］，如表1所示。
表1 水深密度指标
2）菱形短对角线垂直岸线或等深线方向，长对角线平行岸线或等深线方向。
3）菱形在理想状态下是规则的，从岸线向海部延伸。
2 算法思路与流程
2．1 最大非空菱形盒子的确定
2．1．1 点群基于岸线总方向外接矩形的构建
1）设有水深点群A｛（xi，yi）｜i＝1，2，3，…，n｝，首先获取岸线的总方向线；
2）在点群外接矩形做一条总方向的平行线L，以每个点为起点作L的垂线，并记录距离集S｛s1，s2，…，sn．｝，获取max｛S｝，min｛S｝所对应的水深点pmax，pmin；
3）在点群外接矩形做一条总方向的垂线L′，同步骤2，找到距离L′最近和最远的水深点p′max，p′min；
4）分别过pmin，pmax做L的平行线l1，l2；过p′min，p′max做L′的平行线l3，l4。l1，l2，l3，l4所形成的矩形为点群基于岸线总方向的外接矩形，如图1所示。
图1 点群基于岸线总方向的外接矩形（虚线）
2．1．2 最大非空菱形盒子的构建
1）获取点群，基于岸线总方向的外接矩形的对角线的交点，确定该交点为最大非空菱形盒子的中心，记为Ao（如图2（a）所示）；
2）以Ao为原点，岸线的总方向线为X轴，与其垂直方向为Y轴，构造直角坐标系；
3）以Ao为菱形中心，构造标准菱形，其各边长r（预设值，不宜过小）与短对角线皆相等，标准菱形要保证坐标系的四个分区（1区、2区、3区、4区）都有水深点存在；
4）获取四个分区内，与该区标准菱形边垂直方向 上 距 离 最 远 的 点，分 别 为p1，p2，p3，p4，过max｛p1，p2，p3，p4｝作该点所在区标准菱形边的平行线，得到与X，Y轴的交点px，py，然后过两交点相邻区的标准菱形边的平行线，得到过px与Y轴的交点p′y；过py与X轴的交点p′x，最后连接p′y与p′x；
5）最后得到的菱形盒子pxpyp′xp′y为最大非空菱形盒子（如图2（b）所示）。
2．2 计算菱形计盒维数估值
2．2．1 菱形量测尺度的确定
本文采用尺度定长法确定量测尺度，其优势在于自由度较大，首先确定最大非空菱形盒子的边长为r0，保证每一量测尺度的覆盖区大于最大非空菱形盒子，满足上述条件后，尺度定长法主要有两种方式。
图2 最大非空菱形盒子的构建
1）级数定长方式，确定测量尺度上限re为r0／2或者更小；确定下限rs为最小菱形盒子边长，一般为图上距离1 c m（经验值），实际距离为m（N海图比例尺分母），规定一个整数M为几何级数，保证双对数坐标上的横轴具有等间距性，该方法所得量测尺度算法模型为
可改写为
第一种方式数值不归整，为了方便计盒分维的计算，本文采用的是第二种定长方式来确定观测尺度，其优点在于方便取整计算。
2．2．2 菱形计盒维数估值方法
分形特征一般描述为
其中，H（r）为分形维数的测度；r为量测的尺度；C为常数；D为分形维数；f（D）为D的函数。改写 成［9－12］
其中，log H（r），log r为变量，以－D为斜率的直线方程，针对不同的量测尺度ri（i＝1，2，…，m），求出相应的log H（ri），得到线性回归模型去拟合点对（log ri，log H（ri）），求斜率K，则得到D＝－K。
判断拟合程度可用线性回归系数R2来衡量，R2越接近1，说明拟合度越好，点对趋于一元线性关系，该分形方法越可行。
2．3 确定综合后菱形单位尺度内的压缩比
通过计算得到计盒维数估值为D，设定综合前后的比例尺分母为ma，mf，综合前后尺度为r0，ri，综合前点群总数为N，通过点群综合选取的幂律定律，得到综合后点群压缩比Co mpassi
2．4 确定菱形盒水深综合模型
相应比例尺尺度ri，非空盒子内点数为Ni，得到每个盒子应选取的点数Mi
3 实验及结果分析
3．1 实验数据菱形单元尺度选取
以1∶25 000海图的水深数据为实验数据，选取尺度范围为250～3 600 m，菱形单元尺度选取方法：250～500 m区间以50 m为间隔选取250 m，300 m，350 m，400 m，450 m；500～1 000 m区间以100 m为间隔选取500 m，600 m，700 m，800 m，900 m，1 000 m；1 000～2 000 m区间以200 m为间隔 选 取1 000 m，1 200 m，1 400 m，1 600 m，1 800 m；2 000～3 600 m区间以400 m为间隔选取2 000 m，2 400 m，2 800 m，3 200 m，3 600 m，部分菱形分形的情况如图3所示。
3．2 菱形计盒分维估值参数计算
首先，统计每一尺度非空菱形盒子的数目，计算分形尺度r、非空菱形盒子数H（r）的对数值l og r l og H r 菱形计盒分维估值参数如表2所示；其次，绘制菱形计盒分维估值的分形尺度r与非空菱形盒子数H（r）的双对数函数关系图，如图4所示 求解出线性回归方程y＝1．373 3x＋5．683相关系数R2＝0．982 7，最后得到菱形计盒分维估值D＝1．337 3。
图3 实验数据与部分菱形计盒处理
表2 菱形计盒估值参数
3．3 菱形盒水深综合模型验证
本实验以1∶25 000海图为原始数据，综合目标为比例尺1∶5万、1∶10万、1∶20万的常用海图，菱形盒水深综合选取模型的选取结果如表3所示。
图4 菱形计盒分维估值的分形尺度与非空菱形盒子数的双对数函数关系
表3 菱形盒水深综合选取结果数据表
实验表明：利用菱形计盒方法进行分维估值计算，相关系数为0．982 7，拟合度高，菱形计盒分维数描述水深结构的方法可行。因此，利用该分维值进行水深综合的实用性和可操作性较强。
4 结束语
从数据上看，得到以下几点：
1）基于菱形计盒分维估值计算方法，考虑到尺度单元与综合目标数之间的关系，能快速确定目标综合尺度和菱形盒内的保留点数，确保水深点群综合的准确性。
2）该方法生成的菱形网可以为盒内综合选取水深提供菱形分布的参考网。
3）该方法的不足之处是目前的试验只是在开阔海域，且水深点分布均匀的基础上进行验证，针对复杂海域的验证还没有进行；本文方法确定了菱形盒内保留的点数，而点对之间距离的阈值尚没有加以约定，还需要人工进行微调。
未来工作中，将对单元盒内点的距离进行定量约束，并使用该方法对多种海域的水深数据进行实验。
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