武增明

纵观2014年的高考试题，圆锥曲线离心率问题仍然备受关注，且题型多样，不断翻新，内涵丰富，立意新颖，显示出旺盛的生命力.大部分题型都是以选择题和填空题的形式出现，其中有些题目的难度较大，综合性强，解法极富灵活性.本文仅就探求2014年高考圆锥曲线离心率的值的典型问题的数学意识加以认真分析、总结，以期能对大家的学习有所帮助.

定义意识

这里的定义是指椭圆、双曲线的第一定义. 波利亚说：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义中去！”定义是解决问题的原生力量. 圆锥曲线的定义，是圆锥曲线最本质属性的反映，是圆锥曲线的灵魂.灵活利用圆锥曲线的定义解题时，要特别关注圆锥曲线的焦点. 有效借助定义，不但使我们可以找到关于a，c的等式，而且还可以避免大量的计算，使问题的解决变得容易.

例1 （2014重庆卷·理8）设F1，F2分别为双曲线-=1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1+PF2=3b，PF1·PF2=ab，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D. 3

破解 不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有PF1-PF2=2a，与PF1+PF2=3b联立，平方相减得PF1·PF2=. 又由题设条件，得=ab，整理得4a=3b16a2=9b216a2=9（c2-a2）e2=e=.

方程意识

我们知道，方程思想在解决数学问题中起了巨大作用，处理圆锥曲线离心率的值的问题也就是列方程和解方程这两个过程. 从高考题型来看，有两种思路，思路1是根据条件直接列出关于a，b，c的方程；思路2是先根据条件设出与之相关的曲线方程，再进一步得到关于a，b，c的方程.

思路1的求解过程可用图形来表示，如下图所示.

例2 （2014年高考江苏卷）如图1，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

（1）若点C的坐标为，，且BF2=，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

破解 （1）略.

（2）因为B（0，b），F2（c，0）在直线AB上，所以直线AB的方程为+=1. 解方程组+=1，+=1，得x1=，y1=，x2=0，y2=b.所以点A的坐标为，. 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为，. 因为直线F1C的斜率为=，直线AB的斜率为-，且F1C⊥AB，所以·-=-1. 又b2=a2-c2，整理得a2=5c2，故e2=. 因此e=.

评注 求离心率一般是建立离心率e的方程求解.

第（2）问的求解过程可用图形来表示，如下图所示.

例3 （2014年高考浙江卷）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线-=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于点A，B. 若点P（m，0）满足PA=PB，则该双曲线的离心率是________.

破解 取AB的中点E，连结PE.因为PA=PB，所以PE⊥AB，又kAB=，于是kPE=-3. y=xx-3y+m=0A，；同理可得B，. 从而E，，故kPE==，所以= -3b2=-2a2+9b2a2=4b2e=.

平几意识

解析几何是用数量关系来研究几何形状的，在用代数方法研究曲线间的关系的同时，要善于挖掘并充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，这样做往往可以简约思维，简化运算，优化过程，且能给人耳目一新之感.

例4 （2014年高考江西卷）设椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D. 若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________.

破解 不妨设点A在x轴上方，则依题意得Ac，，Bc，-. 因为O是F1F2的中点，又OD∥F2B，所以D是F1B的中点，从而得D0，-，于是=-c，-，=2c，-. 由AD⊥F1B，可得·=0-2c2+=0b2=2ace=-（舍去）或e=e=.

评注 此解答利用平面几何知识得到点D的坐标，简化了运算. 在这里，我们也可以先求出直线F1B的方程，再求点D的坐标. 由前可得直线F1B的方程为y-0=（x+c），令x=0，得D0，-，后同答案.

点差意识

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时，设出弦端点坐标，并代入圆锥曲线方程得两式，将其两式相减分解因式可整理出弦所在直线的斜率与该弦端点坐标和中点坐标的关系式. 这种解题方法不妨叫设点求差法，简称点差法. 其解题的主要步骤是：第一步，设出弦的端点坐标；第二步，代入方程并两式相减；第三步，建立端点与中点的坐标关系；第四步，找出弦所在直线斜率与该弦端点坐标和中点坐标的关系式.

例5 （2014年高考江西卷）过点M（1，1）作斜率为-的直线与椭圆C：+=1（a>b>0）相交于A，B两点. 若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.

破解 设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，两式作差，得 （x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0. 因为x1+x2=2，y1+y2=2，k==-，所以a2=2b2，故a2=2c2，从而e=.

评注 虽然先将直线AB的方程y-1=-（x-1）与椭圆C：+=1联立，消去x或y，得到关于x或y的一元二次方程，然后用韦达定理也可以解决本题，但是没有用点差法来得既快速又简捷.