牟从义

（西南交通大学物理科学与技术学院，四川成都，610031）

0 引言

量子热机概念是由Scovil和Schultz-Dubois[1]在1959年提出来的，之后量子热机在很多领域中都得到了很好的发展。研究者们利用量子热机不同工作物质独特的属性，构造了许多具有量子特性的量子热机。量子热机研究最重要的意义在于，有的量子热机打破了经典热力学极限[2][3][4]，超越经典卡诺热机的效率[5]。Szilard热机(Szilard Engine,SZE)是一个典型的例子也是本文要讨论的量子热机。

1929年，Leo Szilard对麦克斯韦妖(Maxwell demon，MD)[6]进行研究，将MD的智慧归结于信息的作用，提出了一个单分子理想热机模型—SZE，首次将信息的作用明确地包含在热力学过程中[7]。随着量子热力学的发展，经典Szilard热机向量子力学领域扩展。1984年，Zurek[8]提出单分子量子Szilard热机 (QSZE)，对测量与做功过程作了详细分析指出系统与测量装置之间的互信息与系统提取功有关。之后QSZE得到了广泛的研究，包括纯量子信息驱动的QSZ[9]、多粒子QSZE[10]、没有MD的QSZE[11]也被相继讨论。

对于QSZE的热力学循环过程，MD对系统进行测量，通过测量得到的信息来控制系统从外界提取功，最后擦除MD的信息，系统回到初始状态。在一个测量、反馈和擦除的循环中，测量获取系统状态信息会使系统的熵减小，而根据朗道尔原理，擦除信息过程是熵增的，整个过程原则上是完全可逆的。若存在测量误差，测量误差会减少所获得的信息，使系统的熵减小，但擦除过程的熵增量不变，导致整个过程是不可逆的。另一方面，测量误差会影响反馈过程进一步增加熵的产生。我们主要研究测量误差对QSZE热力学循环中功和效率的影响。论文组织如下，第二章主要介绍量子力学基础知识。第三章介绍了QSZE物理模型以及热机循环的四个过程。第四章介绍测量误差对效率的影响以及温度T→0或者T→∞时效率的变化。

1 量子力学理论知识

热力学中一个封闭系统，热力学第一定律的微分形式为

热力学第一定律可推广到量子力学领域中，若以多能级系统为工作物质，系统的哈密顿量为：

系统的第n能级的能量本征值和本征态分别为En和|ψn〉，系统的密度算符可表示为：，配分函数为玻尔兹曼常数。系

其中概率分布 满足条件统的内能可表示为：

上式的微分形式为：

由（5）式可得，量子力学系统的功和热被定义为：

由此可得出结论，量子系统能级En发生变化会导致系统的功发生变化。同理，量子系统pn的变化会导致系统的热量发生变化。

2 量子Szilard热机

2.1 物理模型

QSZE的物理模型可以由质量为m单粒子束缚在宽度为L的一维无限深势阱中的模型来描述，称为系统S。在盒子l处插入薄板的过程可看为在一维无限深方势阱l处加入一个持续增加的δ势垒，此时系统S的内能可表示为：

通过解薛定谔方程的知识和波函数的边界条件和δ势垒的跃变条件相结合得到，当μ=1/2时，即在盒子正中间插板，此时系统的能量为：

不等式的左右两项分别代表λ→0 和λ→∞时的取值[12]。上述结论可以得到，加入势垒后，势阱的边界条件发生变化，导致势阱中能级结构分布会发生改变，势垒不断升高，方势阱中的能级会往上移动。当λ→∞时，即板插入完成，此时偶数能级不变，奇数能级移动到相邻的偶数能级处。影响能级的参量为λ和μ，即插入势垒的强度和插入势垒的相对位置。

QSZE的热力学循环过程如图1所示，包括(A)、(B)、(C)、(D)四个过程，即等温插入、绝热测量、等温膨胀、等温移除。系统初始状态，系统S与温度为T的高温热源保持接触，达到热平衡，系统S的密度算符、内能和Von-Neumann熵分别为：

图1 QSZE工作原理图

2.2 等温插入

在这个过程中，过程系统S始终与温度为T的高温热源保持接触，在盒子的中间插入一个厚度可以忽略不计的壁，即系统S被分为左右两部分。若插板过程足够缓慢，系统S与热源处于热平衡，插板之后系统S的分布函数为：

2.3 绝热测量

朗道擦除原理[14]指出，擦除1比特信息至少需要消耗能量k BTln2。MD作为Szilard热机的一部分，我们把它视为测量系统D，为了便于分析假设其为一个二能级系统，能量本征态为|g〉和|e〉且能级差为 Δ=E e-Eg，与温度为TD的热源接触。Zurek指出系统与测量装置(或存储装置)之间的互信息I与系统的提取工作有关。若存在测量误差，那就说明系统状态与测量系统的相关性不完善，即两者之间的互信息小于测量设备逻辑状态的完整信息[8]。

系统S的状态x在板左侧或右侧可用0或1表示，即x∈ (0,1)，其对应的概率分布为p(x)。系统D的测量结果可记录为y，且y∈ (0,1)，在x已知的情况下条件概率定义为：

存在测量误差的情况下，假设测量成功的概率p≥1/2，上式可表示为：

由上式能级差可表示为：

当TD→0时不存在测量误差，当TD=T时，系统D得初始能级为：

系统D与系统S接触进行测量，系统D的能级变为：

测量之后系统S与D要分开，分开过程的功为：

p对Wmrs的影响如图2所示。测量之后系统的内能为整个过程吸收的热量

图2 测量过程的功Wmrs(单位为k BT)与测量成功的概率p之间的关系

2.4 等温膨胀

膨胀过程足够缓慢为准静态过程，系统和热源处于热平衡状态。系统D得到粒子位置信息并根据信息控制系统S提取功，粒子在左侧，板慢慢地从的中间向另右边移动，粒子在右侧同理，系统膨胀之后内能为膨胀过程的功和热分别为：

2.5 等温移除

膨胀结束后，板到达平衡位置处，为使系统S回到初始状态，需要将板移除。膨胀过后薄板位于势阱的边界处，移除板对系统的能级以及概率分布没有影响，所以这个过没有功和的热的变化，即

3 量子Szilard热机的效率

QSZE的效率定义为，系统对外做的有用功与从热源吸的总热量之比，表示为：

当测量过程没有误差是QSZE的效率为：

对比上述两个效率我们可发现η＜η′，p与效率的关系如图3所示。

图3 QSZE效率η(单位为lnZ (L )/ Z ( L /2))与测量成功概率p的关系

接下来考虑当温度T取高温极限（T→∞）或低温极限（T→0）时QSZE的效率。T→∞时，系统的配分函数可表示为：

此时系统的总功为：

故温度取高温极限时QSZE变为经典SZE。温度取低温极限时可简化为此时量子效应更明显。

4 总结

总之，我们考虑了在MD辅助下的QSZE的热力学循环，并仔细分析了绝热测量过程。得到结论存在测量误差时，测量误差对测量过程的功和整个热机的效率都有影响，通过绘制出的图2和图3表示出来他们之间的关系。除此之外还讨论了，热源温度取高温极限时，QSZE趋于经典SZE总的功反之热源温度取低温极限时整个循环过程的量子效应更加明显。