周 辉 陈汉明 董春晖

（中国石油大学（北京）地球物理学院物探系 北京 102249）

中国石油大学（北京）是行业特色鲜明的高校，与油气相关的学科培养的学生主要面向油气行业。地球物理学院下属的物探系支撑“双一流”建设的一流学科——地质资源与地质工程。物探系每年招收27名左右的博士研究生和60多名硕士研究生，其中有60%多的硕士生选修《计算地球物理》，也要个别博士生选修该课程。如何为面向油气地球物理的研究生开设好《计算地球物理》课程，课程的内容的选择是十分重要的。

作者认为《计算地球物理》课程内容的选择应该遵循如下几项要求：（1）内容要尽量满足选课学生的需要。虽然大部分研究生的研究方向为地震勘探，但也有部分研究生的研究方向为重磁电勘探，因此，选取的内容要有所兼顾这两个研究方向。（2）课程内容尽量满足学生学位论文和将来可能从事的研究和生产工作的需要。研究生选修《计算地球物理》课程，除拓宽知识面外，很重要的一点是其所学相关知识为其毕业论文服务，还要为其将来所从事的工作服务。这样就需要选择内容的基础性和系统性兼顾。（3）教学内容与实际应用场景要结合得紧密。在教学实际中，经常有学生问：我们学习的知识、方法用在什幺地方？因此，在教学过程中要回答这样的问题。（4）讲课内容与编程和动手能力的培养结合起来。如果在课上学到的知识和方法不通过自己亲自实现，掌握知识的程度就会降低，动手能力也得不到提升，因此要有适当的实际编程计算的实例。（5）为适应国际化发展的要求及创新型学校的建设需要，将更多的创新理念、相关的学科前沿信息及优秀的科学研究成果融入《计算地球物理》课程中，将科研成果转化成教学素材。

根据以上要求，我们《计算地球物理》教学组通过调研和分析，在尽可能避免与其他课程的内容重复的前提下，并考虑到本课程只有32学时，最终选择了以偏微分方程数值解法为主要内容，包括有限差分法和有限元素法两大部分，其中每部分都可以分为基础部分和与地球物理密切相关的部分。本课程的全部内容：

（1）绪论，主要讲述计算地球物理学的发展历程、计算地球物理学的主要研究内容、计算地球物理学的特点。

（2）地球物理场微分方程，主要讲述地球物理中常见的重力位、磁位、电位方程及其相关关系，电磁场方程、弹性波场方程及其相互关系。

（3）偏微分方程有限差分解法基本原理，主要讲述椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程有限差分法的基本知识[2]，包括求解区域的剖分、有限差分格式的推导、稳定性分析方法等。

（4）波动方程有限差分解法，主要讲授二阶声波和弹性波方程有限差分解法、一阶声波和弹性波以及麦克斯韦方程组有限差分解法、空间高阶有限差分解法、时间高阶精度有限差分解法（二阶波动方程时-空域有限差分解法和一阶波动方程时-空域有限差分解法）、分数阶粘滞波动方程有限差分-伪谱法、差分格式的稳定性分析、网格色散分析[3-6]。

（5）波动方程数值模拟中的截断边界条件，波动方程模拟中很重要、很费周章的是无限区域的截断边界的处理，根据吸收边界条件的发展顺序，主要讲述多种吸收边界条件（Cerjan吸收边界条件[7]、旁轴近似吸收边界条件[8]、Liao吸收边界条件[4]、完美匹配层吸收边界条件[9-14]）提出的思路和实现方法。作为吸收效果最佳的完美匹配层吸收边界条件，在计算电磁学、计算地球物理学等领域应用十分广泛，对于完美匹配层吸收边界条件的详细介绍十分必要，因此，本课程加大了完美匹配层内容的篇幅。完美匹配层吸收边界是为了吸收在麦克斯韦方程模拟中截断边界的反射由Berenger于1994年提出[14]。Berenger开创了全新的吸收边界，掀起了完美匹配层吸收边界的研究热潮。自提出之日起，完美匹配层受到了极大的关注，至今，已经发展了多种PML吸收边界。由于完美匹配层吸收边界的吸收效果是通过特殊的波动方程模拟实现的，因此，不同的波动方程需要相应的完美匹配层波动方程。Berenger提出的完美匹配层适用于一阶偏微分方程组，因此，如果想用二阶偏微分方程进行波场模拟，就需要找到相应形式的完美匹配层波动方程。Berenger提出的完美匹配层波动方程是采用波场分裂形式的方程，其他学者则研究了非分裂形式的完美匹配层方程。由于完美匹配层是由Berenger在模拟麦克斯韦方程组时提出的，因此本课程从Berenger的完美匹配层开始介绍完美匹配层的原理，有利于理解这种吸收效果十分优秀的吸收边界条件的内在机理，也有利于在此基础上开发与特定的波动方程相适应的完美匹配层吸收边界。

（6）数学物理方程的变分原理，主要讲授有限元素法的数学基础和基本方法，包括二次函数的极值问题、两点边值问题、高维数学物理问题的变分问题、里兹-伽辽金方法、有限元离散方法（一维问题的有限元方法、二维问题的有限元方法、二维问题三角形高次元插值）[15]。

（7）大地电磁场和波动方程有限元解法，主要讲授勘探地球物理中常见的用有限元素法求解的地球物理问题，包括大地电磁场（椭圆型方程）的有限元模拟和声波方程（双曲型方程）有限元模拟[16]。

（8）偏微分方程数值求解的编程作业。

以上内容中，（3）、（4）和（5）为有限差分方法，其中（3）是基础部分，（4）和（5）是地球物理部分；（6）和（7）为有限元方法，其中（6）是基础部分，（7）是地球物理部分，（8）是实践部分，为课外作业，不占学时。

通过多年的教学实际，课程的内容在不断的调整和改进中，与时俱进，将最新的理论和方法引入课程的教学内容，通过课后反馈和作者指导的研究生在学位论文和科研过程中的表现得知，本课程取得了良好的教学效果。