福建省尤溪七中 叶明超
高中数学中数列作为一种特殊的函数，在学习过程中需要把它与函数的思想及性质结合起来学习，其特殊性反映在自变量n取正整数，故其刻画的是离散现象的数学模型，图像反映的是点集，数列反映的是自然规律基本数学模型，它在过去几年的高考中一直是考查的重要内容之一，也是后续高等数学学习的重要工具，在高考中能考查学生的逻辑推理能力和理性思维能力，以及考查学生的创新意识和创新能力，因此在高考命题中占有重要地位。笔者有幸参加了市教科所组织的一次说题研讨活动，题目背景就是一道数列题，通过对数列的考纲的研读及对近些年高考数列命题的探讨，从数列的试题评析、解法、高考定位探究几方面谈谈我对它的看法。
一、试题分析
已知数列 {an}满足(1)求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使 m，s，t成等差数列且 am-1，as-1，at-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由。
这是一道高三文科的试题，主要从以下几方面考查了数列的知识：利用数列递推式求数列通项；考查等差、等比数列的性质、等比数列的定义的应用；指数运算及基本不等式的综合应用；考查学生的能力方面：1.考查分析问题、审题能力；2.考查初等数学的基本运算求解能力；3.考查数列知识的综合应用能力；4.考查了数列的探究性能力，考查了数列的重要思想——化归与转化思想、函数与方程的思想。
本题命题的特点：本题考查了数列知识的基本要求和能力，比较符合近年高考对数列的考查，注重与其他知识的交汇，符合高考考试说明：“在考查数列的综合问题时，常与函数、不等式、导数交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合、必然与或然等数学思想。”但第二问对于文科学生而言难度就有点大了，如果这是一道理科题比较适合。
二、解法展示
本题的第一问可以从不同角度入手有不同的解法。题目要证明等比数列，可从等比的定义入手，即“数列从第二项起，每一项与其前一项的比值等于一个常数（非零），那幺数列{an}就是等比数列”。
方法三：待定系数法，从结论知是一个等比数列，一定有cn+1=qcn，从而求出公比 q，即设，把代入上式恒等变形后可求得q=，所以数列是以2为首项，公比
本题的第二问：由第一问可求得数列{an}的通项公式为，依题意要满足两个条件，①m，s，t成等差，即 2s=m+t，②am-1，as-1，at-1 成等比，可转化为（as-1）2=（am-1）（at-1），代入得，化简得 2·3s=3m+3t，笔者在说题前，把这个题目在高基本不等式成立的条件是当且仅当m=t时取等号，这与m，s，t互不相等矛盾，故这样的整数 m，s，t不存在。
三、高考定位探究
2015年全国Ⅰ卷文科考查三角函数，理科考查了数列，第17题：Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 an＞0，an2+2an=4Sn+3，（1）求数列 {an}的通项公式；（2）设bn=三学生进行测试时，发现很多文科的学生化简到这里止步了，当然，对于我们一般高中学生而言能化简到这一步的同学已经很不错了，之后的步骤如果交给理科学生应该没有问题，通过观察已知条件要充分应用m+t=2s，而m，t又在指数位置，故只能将3m+3t转化为 3m×3t＝3m+t，因而联想到基本不等式具有这个功能。即3m＋3t≥，求数列{bn}的前n项和。
本题主要考查数列的通项公式的求解方法中的已知Sn表达式求an的过程、考查裂项相消法求数列的和，（1）由已知an2+2an=4Sn+3①，可递推出 an＋12+2an＋1=4Sn＋1+3②，由②式 -①式可得 an＋12-an2+2（an＋1-an）=4an＋1，移项相消后得 an＋1-an=2，通过已知等式令n=1可求得a1=3，所以an=2n，其前n项和Tn＝
2016年全国Ⅰ卷理科考查三角函数，文科考查了数列，第17题：已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和。
本题主要考查等差数列的通项公式的求解方法，依题意令n=1，可求得a1=2，根据等差数列通项公式an=a1+（n-1）d，即an=3n-1，考查数列基本量的计算能力。（2）把an=3n-1代入已知式子，可得bn+1=，所以数列{bn}为等比数列，按等比数列的前n项公式即可求得。本试题由于是文科的考题，因此相对比较基础。
2017年全国Ⅰ卷理科仍然考查三角函数，文科继续考查了数列，第17题：记Sn为等比数列 {an}的前n项和，已知S2=2，S3=-6，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。
本题仍注重对数列基本量的计算求解能力及通项公式和前n项和公式，利用等差中项公式判断是否为等差数列的应用。属于考查比较基础的题型，大部分考分能完成试题的解答。
四、复习定位反思
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数列有着广泛的应用，在高三复习教学中就注重培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力，在数列的复习中应充分保证基本技能的训练，让学生通过一定的练习训练掌握数列基本量的计算，从近几年的全国卷数列高考来看，其命题特点注重基本知识和基本方法的考查，适度综合与函数等知识交汇。
从高考题量分布来看，2016和2017两年文科均考查了数列的大题，难度都不大，都属于基础题型，主要考查等差等比的性质、数列的通项公式、前n项和问题、等差等比的判定，2015年理科考查了数列的大题，由于2016年高考理科没有考查数列的大题，很多高三老师都在猜测2017年高考理科考数列的大题的可能性很大，把精力放在数列的训练上而忽视了三角，因而，在复习策略上要正确对待，不要盲目猜测，给学生错误的导向作用，只要我们的老师能按《标准》认真落实，注重一些数学思想方法的培养，数列解题时常会用到方程思想（求基本量时要有求解基本方程的能力）、化归与转化思想（把非等差、等比数列求和问题转化为等差、等比数列求和）、分类讨论思想（已知sn求an中常要对n是否等于1讨论）、递推思想（递推式本就对于一切n均成立，故常常对式中的n进行递推）、函数思想(数列本身就是一种特殊的函数，其仅仅是变量n的取值特殊，其他的性质与函数一样，故数列一些问题的求解可通过函数思想来解决)。
经历了全国高考到省自主命题，在全国教学改革的形式下又一次回到全国卷，既熟悉又陌生，在新课程的实施中，我们要准确把握全国卷的命题特点，对于我们来说会遇到许多问题和困惑，对于每个从事教学的老师来说，都是一次新的挑战。我们要认真学习新课标，研究新高考，将现代先进的教学理念与传统的教学思想相结合，勇于在实践中反思，在反思中实践，在实践与反思中成长。
