周宇剑 唐耀平 蒋桃燕

[摘 要] 由生活实例引出解分式方程，感受模型思想，培养分析问题、解决问题的能力。引导探究增根及其产生的原因，理解检验的必要性。介绍相关数学史，渗透数学文化，适时归纳思路与方法及步骤，提升学生的归纳能力和思维能力。

[关键词] 核心素养;解分式方程;教学设计

[基金项目] 2019年湖南省普通高校教学改革研究项目“专业认证背景下师范生培养模式构建与实践”（湘教通[2019]291号No.854）;2018年湖南科技学院应用特色学科项目资助——数学、教育学（湘科院校发[2018]83号）

[作者简介] 周宇剑（1973—），女，湖南祁阳人，教授，硕士生导师，主要从事数学教育研究;唐耀平（1973—），男，湖南永州人，教授，理学院院长，主要从事应用数学研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）36-0315-02    [收稿日期] 2019-12-26

本文对解分式方程及增根产生的原因进行教学设计。

一、教材分析

解分式方程是学生在学习分式概念、分式的加减乘除的基础上，进一步学习的内容。主要运用转化思想，着重培养学生的转化意识。

二、学情分析

学生思维活跃，对新鲜事物充满好奇心，学习兴趣浓厚，具有强烈的探究欲。此前已经学习过分式、分式的乘除、分式的加减以及含分母的一元一次方程的解法，但逻辑思维比较薄弱。

三、教学目标

（一）知识与技能目标

会解简单的可化为一元一次方程的分式方程;掌握解分式方程验根的方法。

（二）数学思考目标

将分式方程转化为整式方程从而求解，渗透转化思想;理解增根产生的原因以及解分式方程要检验的道理。

（三）问题解决目标

初步学会在实际问题中，用数学的眼光发现和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题。增强应用意识，提高实践能力。

（四）情感态度与价值观目标

通过创设具体情境，结合实际问题，引导学生观察、发现、交流，解决实际问题，丰富数学课堂的成功体验，建立学习数学的自信心。

四、教学过程片段

（一）创设情境，引入新课

一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？

我们知道，像这样的分母中含有字母的方程叫作分式方程。怎样求出这个分式方程的解呢？这节课我们一起来探讨解分式方程。

设计意图：通过创设生活情境，列出分式方程，树立数学应用意识，激发学习数学的兴趣。

（二）合作交流、探索新知

1.解分式方程。

想一想：如何解含有分母的一元一次方程？

将方程两边同时乘以分母的最小公倍数而达到去分母的目的。

思考：那么分式方程可不可以也先去分母，如果可以的话又怎么去分母？

独立思考后小组交流。教师巡视课堂，帮助有困难的小组或同学。至少达成以下共识：①分式方程也可以去分母，就是找各分母的最简公分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母;②去分母后，分式方程转化成整式方程。通过求解整式方程能够求解分式方程。

师生共析方程的最简公分母为（30+v）（30-v）

去分母后得到整式方程90（30-v）=60（30+v）

求解整式方程，得到v=6。（暂不讲检验）

设计意图：类比解含有分母的一元一次方程的方法，让学生通过自主探索、合作交流的方式探究出解分式方程的方法。提高学生的自信心与主动获得知识的意识。但若接着讲检验的话，由于该分式方程没有增根，体现不出检验的重要性，反而让学生觉得突兀，不好理解，故暂且将检验这个步骤搁置。

2.发现增根。

解分式方程去分母时，方程两边要乘以最简公分母。方程（1）去分母后，得到的整式方程的解是v=6，此时（30+v）（30-v）≠0，即去分母时，方程1两边同乘以一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与方程1的解相同。

方程2去分母后，得到的整式方程的解是v=30，此时（30+v）（30-v）=0，即去分母时，方程2两边同乘以了一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使方程2出现分母为0的现象，故这个解就不是方程2的解。

升华：由解两个分式方程，最简公分母都相同，可是一个未知数的值是原方程的解，而另一个值却不是原方程的解。生活中很多事物也是如此，我们观察事物需要究其本性，不可被表面现象所迷惑。

增根的概念及产生的原因分析：解分式方程时，把分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，若求得的整式方程的解使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根。产生增根的原因：分式方程两边同乘以最简公分母时，方程的两边可能会同乘了一个使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围。因而不能确保原分式方程与之后的整式方程是同解的。

3.检验。由于解分式方程有可能会出现增根，所以解分式方程时需要检验。如何检验才是最简便的？在理解增根产生的原因后，就明白检验就是验证“去分母”这一步是否满足同解原理，从而确认检验只要代入最简公分母即可。

4.师生共同完成解答过程后介绍分式方程及其增根的研究历史。

5.归纳。

（1）解分式方程的一般方法：通过去分母转化为整式方程求解。

（2）解分式方程的步骤三字口诀：一转化、二求解、三检验。

设计意图：让学生在参与分析问题和解决问题的过程中发现增根，并理解增根产生的原因，从而明白解分式方程必须要检验，发展学生的推理能力。接着引导学生在思考中领会检验的要点，有利于记忆。借机引导学生感悟生活中观察事物需要究其本性，适时介绍分式方程及其增根的研究史，渗透数学文化，达到立德树人的目的。

本教学设计由生活实例引导学生列出分式方程，感受数学的应用性的同时引出分式方程的求解问题，体会转化思想的优越后，引导学生剖析增根产生的原因，明白检验的重要性。该设计体现发展学生的模型意识、符号意识，渗透转化思想，培养运算能力和推理能力，符合发展学生核心素养的目标和立德树人的要求。