何开应
摘 要：函数中的不等式恒成立问题是新课程背景下的高考数学中的热点考题之一，同时也是考题中的重点和难点，它常以基本初等函数为背景，与导数、不等式综合考查等价转化思想、函数的最值或值域问题。对涉及已知函数在给定区间上恒成立，求参数的取值问题、证明不等式等问题，大多数题目可以利用分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值或值域问题。结合本人教学的积累，现将这类问题的解决策略与各位同仁探讨如下。
关键词：不等式恒成立，函数，策略
一、 型在区间 上恒成立问题
【例1】已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若 对 恒成立，求 的取值范围.
【分析】本题以对数函数、反比例函数和一次函数的和、差为模型，以不等式恒成立问题为背景，利用导数研究函数的单调性和最值以及求参数的范围问题。
解：（Ⅰ）函数定义域为 ，且 ，
故 在 上为单调递减函数.
（Ⅱ）∵z ，而 ，
由（Ⅰ）有 在 上为单调减函数，又 ，
故当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
而 时， ，∴ 时， 的最小值为0，
要使 对 恒成立，只需 ，故有 .
【解决策略】
对于 型在区间 上恒成立问题，通常是将不等式恒成立问题转化为一个函数最值问题求解：若 在区间 上恒成立 ，若 在区间 上恒成立 。
二、 型在区间 上恒成立问题
【例2】已知函数 若 对定义域内的 恒成立，求实数 的取值范围 .
【分析】本题以二次函数和对数函数为模型，在二次函数的一次项系数中设置参数，以不等式恒成立问题为背景，利用分离变量法以及转化思想考查导数的应用及参数的范围问题。
解：函数 与函数 的公共定义域为 ，
由 即 ，得 对任意 恒成立，
，当 时， ，当 时，
故当 时， 取最小值 ，要使 恒成立，只需 ，
故 ，即实数 的范围是 .
【解决策略】
对于 型在区间 上恒成立问题：
1.若是证明 或 在区间 上恒成立。
（1）通常情况下，需构造函数 或 ，利用导数求出 在区间 上的单调性和最值（或值域），判断其最值与0的关系。
（2）极少数情况下需判断 在区间 上的最值与 在区间 上的最值关系，如 在区间 上恒成立 ； 在区间 上恒成立 ，但前提是寻找等价条件。
（3）若上述（1）、（2）方法都不奏效时，则需构造“加强不等式”进行证明，如要证 ，若能证 ，且 ，即可证明 。
2.若是求参数的取值问题，则通过转化思想，利用分离变量法或分类讨论的思想，将该类恒成立问题转化为上述一的恒成立问题求解。
总之，对于函数中的不等式恒成立问题，函数是载体，求参数的范围或证明不等式是目的，导数是工具，分离变量、分类讨论、构造新函数和转化是思想和方法，求函数最值或值域是目标。
参考文献：
[1]秦传明，杨子林.函数中不等式恒成立、能成立问题的七种类型及解题策略[J].学周刊，2017（05）：221-222.
