武涛+智洋+白丽珍
[摘 要]在计算机系统中，数值型数据采用机器码来表示，掌握不同机器码之间的内在联系，可以帮助学生深入理解补码的概念，该文从原码的定义出发，逐步引入补码，并阐释了补码定义过程中，选取模的方法；又从补码的计算引出反码。完整地表明了原码补码反码之间的内在联系。对机器码的理解具有一定的指导意义。
[关键词]机器码；原码；补码；反码；模
[中图分类号] TP3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）04-0018-03
计算机（computer），即电脑，是能够按照程序自动运行并快速处理大量数据的电子设备。它既可以进行数值计算，又可以进行逻辑计算，还具有存储记忆的功能。
从某种意思上来说，这就是一个数据处理机，这里的数据是一个含义很广的概念，有数值型数据，也就是我们熟知的那些能进行加减乘除运算的数值，还有非数值型的数据，也就是不能进行加减乘除运算的其他一切。那幺计算机如何处理这些数据呢？首先必须要把这些数据存储在计算机内，下面描述数值型数据的存储方法。
一、机器码
结合计算机的特点来进行分析，为了电路实现方便以及容易区分和存储等特点，计算机内部使用二进制存储数据。进制之间的转换是非常容易的，但这远远不能解决数值的存储问题。正数与负数如何区分呢？加一个符号位来标识正数与负数即可。由此容易联想到，既然计算机采用二进制，那幺0和1就可以代表不同的状态。我们可以用0和1这两种不同的状态对应正数负数两种不同的状态。那幺如何对应？ 用0表示正数，还是1表示正数？怎幺样建立其对应关系，而且能保证在进行加减乘除运算时方便快捷不出错呢？由此，出现了很多种表示数值型数据的方法。这种把符号位和数值位一起编码的表示方法都称为“机器码”。它们分别为[1]-[4]：原码、补码、反码和移码。
接下来，又出现新的问题，当“机器码”进行加减乘除法运算时，符号位怎幺处理呢？符号位也一同参与运算？还是需要进行单独处理？进行运算时，哪种编码是最优的呢？下面将主要探讨三种机器码（注：在下面描述的过程中，为了能够区分“机器码”和之前我们使用的带有正负号的数，这里把前者（符号数字化之后的数）即“机器码”，用[x]原形式来表示原码（或[x]补表示补码，[x]反表示反码）。而后者（即带有正负号的数）称为真值，用X表示；下面仅以小数为例进行说明）。
（一）原码
仔细查看公式（1），首先发现这里对小数的范围有限制，要求绝对值小于1（注：这里只研究定点小数）。
另，不难得出如下规律：如果是正数或零，原码同真值一样，保持不变；如果是负数，原码的定义是1- X。可以理解为1加上该负数的相反数，也即1加上该数的绝对值。再详细推敲，1加上某个定点小数的绝对值得到什幺呢？很明显，与该小数的绝对值相比，唯一的变化就是小数点前面的数值由0变为1。
经上述分析，我们对原码做一小结：原码由两部分构成，符号位和数值位。数值位部分均保持原来的样子，不需改变。如果是正数，小数点前面的0视为符号位，如果是负数，小数点前面的1视为符号位。
显然，原码非常简单直观，但原码在进行运算时，并不是最优的，比如：
仔细观察表1可以发现，一个正数和一个负数做加法时，首先我们会比较这两个数绝对值的大小，和的符号选择绝对值大的数的符号，和的绝对值则为绝对值大的数减去绝对值小的数，那幺，实际上，我们并没有做加法，真正做的是减法运算。这是非常不方便的。那幺，有没有一种编码，可以避免这样的问题呢？在这种情况下，补码[1]应运而生。
（二）补码
补码概念的理解，需要先从“模”的概念开始。
我们可以把模理解为一个容器的容量。当超出这个容量时，会自动溢出。如：我们最常见到的时钟[2]，其容量是12，过了12点之后，就会变为1点，2点……也就是说，超过12的部分将被丢弃。那幺，在这个例子当中，时钟的模就是12。模的概念可以帮助我们理解补码的含义。
补码的引出：假设现在时钟的时针指向4点的位置，要使其指向3点，可以怎幺操作呢？很明显，共有2种方法，顺时针拨11格（+11），或逆时针拨1格（-1）。（为了区分顺时针和逆时针，我们用正数表示顺时针方向转动的距离，负数表示逆时针方向转动的距离）
从上面的例子，不难发现，+11和-1实现了同样的作用。主要原因是时钟的模是12，顺时针旋转代表加法运算：4+11=15，而达到模的部分会自动溢出，即15-12=3，即到达3点的位置。逆时针旋转代表减法运算：4-1=3。在这个例子当中，+11和-1是完全等价的。也就是说，负数-1可以用正数+11代替，这样就可以把减法运算改为加法运算。也可以说：+11就是-1的补码（模为12的情况下）。
刚才的实例告诉我们：如果运算是有模的运算，那幺，负数总可以找到它对应的补码，用补码代替它运算，就可以化减为加。而且，负数的补码也是容易求得的，即负数加上模即可得到补码。
我们自然联想到，如果计算机中的运算也是有模运算，同样可以化减为加。但是计算机当中的运算是有模运算吗？在计算机中，数据存储寄存器当中，而寄存器的位数是固定的。那幺这个计数器的容量是256，也就是模为28=256。那幺，n位的整数，计算其补码时，模取多大比较合适呢？下面进行详细分析：以n=3为例，如果模为23，写出对应的原码与补码如下。
对比表1与表2的“原码”列，我们发现，通过原码可以很清楚地辨别出正负数：首位为0则为正数，首位为1则为负数。而对比表1与表2的“补码”列，却不能清楚地辨别出正负数。比如：补码0010，既是+2的补码，又是-6的补码。到底代表哪一个数，无法确定。很显然，这是不合适的！为了能够清楚地辨别出正负数，而且可以唯一地代表一个数。可以将“模”取得更大一些。还以n=3为例，模为23不合适，那幺我们尝试取模为24。
根据定义，重新写出正数以及负数的原码、补码如下表：
比较表2与表4，发现正数的补码没有发生变化。比较表3与表5，发现负数的补码发生了变化。这个变化是：第一位（也称符号位）由0变为1（特殊值0的符号位则由1变为0），而数值位保持不变。这个变化是很有意义的——补码也可以从符号位直观地判断出正数还是负数。比较表4与表5，发现补码也能唯一代表一个数。这样就避免了上面所提到的各种缺陷。故得出结论如下：对于一个n位的整数来说，求补码时，应取模为2n+1。其定义为：
二、总结
从机器码出发，通过对原码的定义和运算进行分析，指出原码做加法运算时存在的不足，进而引出补码，计算机做加减法运算一般都是采用补码完成的，所以，补码的运用非常广泛。但是求补码的过程又是曲折的，为了更方便快捷地求出补码，引出了反码。从而清晰地展示了三种编码之间的联系，对机器码的进一步深入理解有一定的意义。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 罗嘉庆，周世杰，徐洁.原码、反码和补码的教学探讨[J].计算机教育，2015（10）：42-45.
[2] 谢元成. 微机系统中补码的原理及意义[J].科技创新论坛，2014（17）：181-128.
[3] 孙丽.计算思维下再谈补码设计思想[J].电脑知识与技术，2015（29）：70-71.
[4] 杨学颖，周建业.计算机补码概念探究[J].河南科技学院学报，2011（3）：90-94.
[特约编辑：黄紧德]
