黄植功
[摘 要] 针对信号与系统课程中卷积积分数学公式多且复杂的问题，结合数学公式的物理含义，多角度介绍了卷积积分的定义、常用性质和计算公式，提高学生学习的兴趣与积极性，在弱化数学计算的同时，指出这些数学公式应用的条件，提高学生综合运用知识的能力。
[关 键 词] 信号与系统；卷积积分；物理含义；教学探讨
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）16-0210-02
一、引言
《信号与系统》课程内容中涉及卷积积分的定义、特性及应用，让学生学好这部分内容有助于他们更好地学习和掌握整个课程的内容。卷积积分看似是很纯粹的数学计算，但如果太多地从数学方面来证明和讲解相关的知识，就会使学生感到枯燥乏味，而学生又因为数学基础薄弱的原因不能很好地掌握和理解卷积积分的物理含义及其真正的作用。卷积积分是一种解决实际问题的思路、工具或手段，只有学好卷积积分才能学好信号与系统的时域分析，从而为学好整个课程、建立完整的课程理论体系打下坚实的基础。
二、卷积积分的定义
首先，需要把卷积积分的定义讲解清楚。卷积积分的数学定义如下：
x（t）与h（t）的卷积积分为y（t）=x（t）*h（t）=■x（τ）h（t-τ）dτ
数学公式与物理含义方面，需要讲清楚如下几个内容：
1.x（t）的表达式中，将t替换成τ，即可得到x（τ）的表达式，两者的波形图相同，只是自变量不同；
2.h（t）的表达式中，将t替换成t-τ，即可得到h（t-τ）的表达式；在波形图上，先将横坐标自变量改成τ得到h（τ）的波形，再将h（τ）的波形翻转得到h（-τ），最后将h（-τ）从τ=0向τ=t平移，即可得到h（t-τ）的波形图；
3.将x（τ）与h（t-τ）相乘后积分求面积，结果因时间t的不同而不同，即结果仍然是时间t的函数，即仍然是一个信号，用y（t）表示。
讲解卷积积分定义及步骤时，重点应放在上述过程中的变量替换、翻转、平移这些之前学习过的知识，显然这是复习巩固旧知识并向新知识迁移的一个过程。结合两个波形简单信号的卷积，采用图示法来讲解卷积积分的过程可以加深学生对卷积积分计算步骤的理解。
另外，卷积积分需要结合系统来学习，把卷积积分其中一个信号看成线性时不变连续时间系统（简称LTI系统）的输入信号，另一个信号看成LTI系统的单位冲激响应，它们卷积积分的结果就是LTI系统产生的零状态响应。LTI系统是稳定系统的充要条件为系统的冲激响应满足绝对可积，即对任意有界的输入，LTI稳定系统的零状态响应输出必定是有界的信号。因此，卷积积分的两个信号中，其中一个为有界信号，另一个为绝对可积信号，则它们的卷积积分结果也一定是有界的信号。否则，卷积的结果一定是无界的信号，或卷积积分根本不存在（或不收敛）。
三、卷积积分的常用公式及其物理含义
学习卷积积分不是依靠大量的数学推导和运算，只需要记住常用的几个公式、几个特性再结合物理含义加以辅助理解，就可以很好地掌握课程中的卷积积分这部分内容。
（一）基本系统
2.延时t0的延时器，因为其单位冲激响应为δ（t-t0），所以x（t）*δ（t-t0）=x（t-t0），显然恒等器是延时器的特例，延时器的功能就是实现时移变换。在此不仅从系统的物理含义来理解δ信号与其他信号的卷积，还可以反过来将一个延时后的信号理解成输入信号经过一个延时器，即不仅学习从等号的左边到右边，还需要学会从等号的右边到左边进行变化。t0<0时不是延时，而是超前了，相对于输入信号，系统输出波形是向左平移。
（二）基本性质
1.卷积的交换律x（t）*h（t）=h（t）*x（t），这里可以这样理解，相卷积的2个信号中，其中任何一个可看作LTI系统的冲激响应，另一个作为该系统的输入，而输出是相同的。即激励与系统的冲激响应的角色互换，对零状态响应而言，结果是一样的。从系统实现的角度来看可以有两种选择，但是激励与系统冲激响应的角色互换是有稳定性与因果性的要求，即作为LTI系统的冲激响应应该绝对可积，确保LTI系统是稳定的系统，并且要求冲激响应是因果信号以保证系统是因果可物理实现。否则，不稳定或不因果的系统就失去了现实意义。
2.卷积的结合律x（t）*h1（t）*h2（t）=x（t）*[h1（t）*h2（t）]=x（t）*[h2（t）*h1（t）]，卷积的结合律从系统级联角度来理解，即级联的两个LTI系统的连接顺序可以交换，还可以等效为一个系统，其等效系统的冲激响应等于各个级联子系统冲激响应的卷积积分，并且可以将结论推广到多个LTI系统的级联。
在这里可以讨论级联系统等效性的条件问题，以一个积分器与一个微分器级联为例，其等效系统显然是一个恒等器。对任意的输入x（t），这个级联系统最后输出是否一定等于x（t）？即x（t）*u（t）*δ′（t）=x（t）级联的两个系统是否可以交换顺序？即x（t）*u（t）*δ（t）=x（t）*δ′（t）*u（t）。在教师引导下很容易发现，例如，当x（t）=（-∞
3.卷积的分配律x（t）*[h1（t）+h2（t）]=x（t）*h1（t）+x（t）*h2（t），这个卷积性质从数学上来记忆并不困难，因为它的形式跟先加后乘等于先乘后加的乘法分配律的形式相一致，区别仅仅在于不同的运算：乘法与卷积。为了让学生不停留在数学公式表面上，更好地运用该性质学习课程知识，需要讲解它对应的物理含义：即两个LTI子系统的冲激响应分别为h1（t）和h2（t），其并联系统的冲激响应为h（t）=h1（t）+h2（t），并可推广到多个LTI系统的并联。然而不应停留在物理含义这个层面上，还可以指出复杂系统可通过分解为一些简单的、形式一致的简单系统（例如二阶系统）来实现，上升到更高的思维和应用层次。
4.卷积积分的积分与微分性质，这个性质实际上是在上述性质的基础上推导出来的，可帮助更简便更巧妙地计算卷积积分。这里只列出经推广后的性质，即若y（t）=x（t）*h（t），则y（n）（t）=x（i）（t）*h（j）（t）其中整数n，i，j满足n=i+j即可。如果i>0，则x（i）（t）为x（t）通过i个微分器的输出-i>0，则x（i）（t）为x（t）通过个积分器的输出，例如，x（3）（t）*h（-2）（t）=x（t）*δ′（t）*δ′（t）*δ′（t）*h（t）*u（t）*u（t）*u（t）利用交换律结合律、u（t）*δ′（t）=δ（t）、x（t）*δ（t）=x（t）等性质可得：x（3）（t）*h（-2）（t）=x（t）h（t）*δ′（t）=y（t）*δ′（t），即y（1）（t）=x（3）（t）*h（-2）（t）。但是需要强调使用条件：被积分的信号需要可积，即要求是有始信号（或称右边信号）。显然，y（1）（t）=x（1）（t）*h（t）的物理含义正好是LTI系统的微分特性，而y（-1）（t）=x（-1）（t）*h（t）的物理含义正好是LTI系统的积分特性。
四、结语
上述是笔者根据信号与系统的多年教学经历总结的一些教学思考。教学内容是课堂教学的核心，作为教学活动的策划者，教师必须对教学内容进行有效的解构与重构并加以扩展，使之更符合学生的学习规律和实际应用，在教学中需要将数学公式与信号与系统的物理含义相结合，使学生更容易掌握课程知识，灵活运用，不能把信号与系统当成数学课来上。因篇幅原因，只针对与卷积积分的定义、性质相关的教学内容方面进行探讨，没有对学情、教学方法等进行分析，也没有举太多例子。如有错漏，希望讲授该课程的同仁或专家们给予斧正。
参考文献：
[1]吴大正.信号与线性系统分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.
[2]苏启常，徐亚宁.信号与系统[M].北京：电子工业出版社，2003.
[3]陈生潭，郭宝龙，李学武.信号与系统[M].4版.西安电子科技大学出版社，2017.
