曾月迪，林丽芳

(莆田学院 数学与金融学院，福建莆田 351100)

“初等数论”是数学师范专业或小学教育专业（数学）的一门重要课程，在计算方法、密码、编码、信息等领域有许多的应用。 因为“初等数论”是研究整数的一门课程，因此与中小学数学的联系非常紧密，对该课程的学习有利于拓展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认知。

“初等数论”内容一直在应用中，但是都没有系统地进行教学，及至2003年《高中数学课程标准》中专题《初等数论初步》首次被引入高中课程，但是也是作为选修课。刘小妹[1]对中学数论初步的知识与教学进行调查，发觉学生和教师对其重视程度不够，因此师范专业更应改革“初等数论”的教学方法。

刘双等[2]构建了“初等数论”课程教学对数学师范生能力培养的结构图；路秀华等[3]以中国剩余定理为例探讨“初等数论”课题化教学方法等。其实，在师范专业中开展“初等数论”的教学探究，还应该结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》[4]和《义务教育数学课程标准（2011 版）》[5]中强调的数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[4]、应用意识与创新意识的培养。 翻转课堂是重要的教学革新方法之一，借用这个方法，形成“初等数论”这门课程教学改革的手段之一，并探究师范生专业课程学习与中小学数学教学能力、创新能力的融入。奇数与偶数是“初等数论”的基本内容之一，从小学一直贯穿到中学，乃至大学。 利用翻转课堂的设计，培养学生的建模思想与创新意识，传递等价分类与同构思想。

1 翻转课堂设计

1.1 回顾奇数与偶数运算性质

由主要性质1 “偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数”。 诱导出的其他性质：

性质2：偶数（奇数）个奇数的代数和是偶数（奇数）。

性质3：任意多个偶数的代数和是偶数。

性质4：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

1.2 游戏体验开篇

以“为什么会有失败”和“怎么让自己胜利”的两个游戏开始进入本节课，让学生成为课堂的主角。

第一步：分组（游戏设计是根据班级人数而定，后面的分析中会给出原因。 此时假设班级人数为31 人，可分为15 人、16 人两组，其中15 人的那一组由教师作为裁判）。

游戏一规则：15 个学生，坐成5 行3 列，如图1座位编号，每个座位的前、后、左、右的座位叫作它的“邻座”，请学生们都换到自己的邻座上。没有坐到邻座，视为失败。

图1 座位编号

获胜的学生留在原位继续新的游戏，记好自己所在位置。

游戏二规则： 在PPT 上随机选一个最终数 （如136），按原来的编号顺序报数，报到自己时改变自身状态（站或坐），如1 号学生原来坐着，报1 时站起来，报15 时坐下，报29 时又站起，以此类推。 2min 时间内请学生选好自己的最初状态（站或坐），最后坐着的学生为胜利者。

1.3 游戏的建模

在游戏中体验数学的魅力后，分组讨论，培养学生建模与推理能力，探究游戏的真谛，形成学生的思路，并且回过头来应用到所学的知识中。

1.3.1 游戏一的建模

方法一：15 个数字分成奇数号A 组和偶数号B组，“邻座” 的调换位置，即奇数号一定要与偶数号互调，见图1。

反证法，假设可以实现，即每个学生若都能调换成功，要求偶数号和奇数号对应相等，这与事实矛盾，所以一定会有失败者。

方法二：如图2标注新号；“邻座”的调换位置，即0号一定要与1 号互调。

图2 座位新编号

反证法，假设可以实现，即每个学生若都能调换成功，要求0 号的人数和1 号的人数对应相等，这与事实矛盾，所以一定会有失败者。

1.3.2 游戏二的建模

假设有14 个学生，PPT 上显示136。

因为136÷14=9……10，所以这14 位学生中，前10位学生报了10 次，后4 位学生报了9 次。

方法一：两次报数后恢复原状，因此，前10 个学生最初应该坐着，10 次报数后还是坐着，后4 位学生应该站着，9 次报数后变为坐着。

方法二：坐着代表0，站着代表1。 每报数一次，由坐变站+1，由站变坐-1。 因此，前10 个学生最初应坐着，即后4 位学生应站着，即

方法三：坐着代表偶数，站着代表奇数。最初状态：坐为0、站为1；每报一次数+1。 类似可得最初前10 个学生应坐着，后4 位学生应站着。

方法四：坐着记为0、站着记为1；每报一次数+1。 注意两次报数就恢复原状，其实就是二进制计算0+1=1、1+1=0。 因此，前10 个学生最初应坐着，即；后4 位学生应该站着，即

1.4 游戏的思想应用

根据分组讨论的建模方法，对所利用的数学思想方法联系曾经所学的课程与中小学数学教学中要应用的方法，进行讨论。

1.4.1 游戏一的思想应用

以除以2 余数为0 和1 进行等价分类，这就是利用同余进行等价分类的思想应用。

从数学师范课程来看：“初等数论” 后面的同余理论[6]是利用“除以n 的余数”不同进行的等价分类、近世代数中群、环等的陪集是等价分类，离散数学中强调了二元关系中的等价分类，这都是奇数与偶数等价分类的延伸。

从中小学教学的应用来看： 小学关于偶数与奇数的定义，就是把自然数分成两类（等价分类），中学扩充为整数进行“除以2 余数为0、1”的等价分类；小学中关于有余数除法的应用[7]等。同时形成推理的一种方法（分类），比如不重复走遍房间问题，如图3，从1 号房间开始，走1010101010 形式，走9 扇门，最后进的是0号门，因此回不到1。

图3 房间编号

1.4.2 游戏二思想的应用

在新的网联、信联背景之下，互联网金融平台的营运与风控能力将从本质上得到提升，做大做优平台后在资产获取、风控水平、用户体验、技术研发等方面，更具优势。最终，互联网金融会彻底揭掉它的“神秘”面纱，成为金融体系的底层设施，构成个人信用值的重要组成，并助力金融步入真正的互联网社会。

等价类[0]={偶数}和[1]={奇数}的计算，可以看成近世代数中剩余类环的加减运算，此时加和减运算的结果是一样的。因引奇数与偶数的性质考虑的就是“代数和”，不需要判断正负。

注意并不是所有的同余类都不考虑加减，这只是[0]、[1]等价类特定的性质，即近世代数中2 阶群的特殊性质。

从数学师范课程来看：

（1）高等代数课程行列式中的关于排列定理“对换改变排列的奇偶性”[8]的证明。

先证明“经过相邻对换，排列的逆序数不是+1、就是-1”。

再证明对换是经过奇数次的相邻对换而得到。

（2）[0]、[1]的同余计算为“初等数论”接下来的同余计算作铺垫。

（3）{[0]、[1]}关于“+”本身可看作是近世代数的二元交换群；{[0]、[1]} 也可看作为整数加法群的一个商群；{[0]、[1]}与{奇数、偶数}这两个有运算的代数结构是两个同构的群，由此可知二元群在同构意义下只有这一种；当{[0]、[1]}与{奇数、偶数}看作关于加法与乘法的环，这是一个阶为2 的域，一般记作Z2，非常简单但又有许多的应用，并且可进一步联想到有限域Zp（p 为素数）。

从中小学的应用来看：加强与数学推理、益智游戏的联系，如杯子翻转后的开口向上向下问题等；加强与数学竞赛、强基考试的渗透，如刘仁[9]，卫小国[10]等利用数论同余方法讨论竞赛题与不定方程解。

1.5 现实的应用

奇偶性的原理看着简单，但有很多用处，比如通信中用奇偶性的原理来检测数据传输过程中的更改痕迹。 此外，还有许多与奇偶性原理相关的实际应用，要求学生课后查找、收集资料，为师范生进入工作岗位准备好素材。

1.6 游戏的新创造

最后利用游戏一让学生根据现在的班级人数创造出新的游戏“一”。

游戏一要求首先总数必须是奇数，这个奇数又能分解为两个奇数的乘积，如5 行3 列可以用2m-1 行、2n-1 列个座位来代替。 这样学生可以根据班级人数、分组的情况，安排椅子的位置来设定游戏。

例如：班级有36 个学生，1 个学生是裁判，那么可以分成5 行7 列开始游戏。 也可以分成7 行3 列、5 行3 列这2 组，教师作为裁判。

2 结语

翻转课堂的数学课堂教学，以教材为源头，抓住课程内容的本质；以活动为形式，实施课程的设计；以问题为导向，感悟数学思想。

2.1 以教材为源头，抓住课程内容的本质

翻转课堂离不开教师对教材的深度把握，了解课程内容本质含义，才找到翻转课堂的意义。 本课中，通过对教材的深度挖掘，以奇数与偶数的两个本质“分类”“0，1 的二元运算”做为本次课堂教学的根据点。

2.2 以预设为动力，实施课程的设计

学生的主人翁性质是本次翻转课堂的视角，结合课程内容创设每个学生能够共同参与的情境，激发学生的积极性。本课中，结合偶数、奇数的本质原理、设计全员参与的游戏，把“为什么会有失败”和“怎么让自己胜利”深入到课程中。 在教师的预设下，让课堂活动有序而有效。通过学生建模与数学思想的应用，探索出奇数与偶数的本质，创造出新的游戏，实现课堂的翻转。

2.3 以活动为形式，感悟数学思想

翻转课堂下的数学课堂，在发生巨变的教学形式下贯穿着数学思想。 本课中，学生通过“玩”“议”“做”，逐渐深入到课程内容的实质；在教学实施中，实现实际问题的转化与数学的建模；通过充分的思考，自我完成相应的认知加工，在不知不觉中感悟数学思想。本课中“除以n 的同余”分类思想在以前课程中使用过、在以后课程中还会学习它、在中小学数学教学中会应用之。同时，见证了{偶数、奇数}和{0，1}这两个在近世代数观点下同构的二元可交换群。