张弛 孙潇潇
摘 要：以“总体分布估计”一课为教学案例，创设统计数学实验任务；依托GeoGebra平台，通过构建动态统计模型，将探究问题可视化呈现，促进学生合作学习及动手能力，发展了学生数据分析、数学建模及逻辑推理等数学核心素养.
关键词：教学案例；GeoGebra；可视化；频率分布直方图
绘制频率分布直方图是用样本频率分布估计总体频率分布的重要统计方法.频率分布表与频率分布直方图都能反映出总体分布的状况，前者较为精确，而后者则比较直观，两者能较好地相互补充.
1 教材解读
本次选用的教学内容来自于江苏教育出版社出版的职业学校文化课教材《数学》第二册第十章《概率统计》第6节《总体分布估计》.根据2020年教育部最新颁布的《中职数学课程标准》，本节内容是中职数学基础模块中“概率统计”部分的重要内容，本节内容在本章中具有承上启下的重要作用.
2 传统教学设计分析
教材选用例题为：一位植物学家想要研究某植物生长一年之后的高度，他随机抽取了60棵此种植物，测得它们生长一年后的高度如下：（单位：cm）
教材中规范了制作频率分布直方图的实施程序，具体分为六步：
步骤一：确认最大值与最小值，并计算极差；
步骤二：根据问题情境，确定合理的组距和组数；
步骤三：计算各分组频数，以“分组”“频数”列出“频数分布表”；
步骤四：计算各分组频率，并以“频率”增列入“频数分布表”，形成“频率分布表”；
聚焦统计知识的讲授、统计方法的示范是传统教学设计流程的主线，但忽视了对学生主动探索意识的挖掘和培育，具体分析原因有如下三个方面：
其一，统计模型的素材选用针对性不强.笔者结合实际教学和问卷调查发现，学生对所选情境的兴趣不高，主要由于生活经验的不足或是与所学专业关联度不高，同时学生对例题所研究问题缺少基本的认知，造成学生主动学习的兴趣不浓.
其二，直方图的绘制原理缺乏必要解析.尽管传统教学设计明确了绘制频率直方图的具体步骤及相关公式，也阐述了合理分组的重要性，但是对选择频率直方图作为总体分布估计的合理性与必要性，特别是将“频率组距”作为纵轴，传统教学设计中并未给出必要的解释.
其三，直方图绘制的教学生成应对不足.传统教学设计中，教者囿于信息化手段运用的不足，教师既无法将根据多种分组方式制作的直方图一一呈现，让学生在直观比较中感受合理分组的必要性，也不能借助实际情境引导学生理解将“频率组距”作为纵轴的统计意义.故而课堂氛围枯燥，学生疲于应付，探索的趣味消失殆尽.
3 基于GeoGebra平台的教学实施过程
笔者发现依托GeoGebra平台优化教学实施程序，可以聚焦教学目标，将频率直方图中蕴含的统计意义动态直观地呈现给学生.这样做突破了传统教学手段的设计桎梏，将静态的图表变成了动态的演示，课堂教学实效也得到切实提升.
3.1 挖掘生活素材，引入统计实验项目
学生活动：从我校2022级新生中收集9月份月度零花钱数目作为总体，并按照系统抽样的方法，从总体中抽取一个容量为60的9月份零花钱数据样本（数据见表2），思考如何根据表2中的样本数据，了解我校新生群体月度零花钱数据的分布状况.
学生实验：在GeoGebra主界面的指令输入栏中，使用“列填充”指令将表2中的数据分作10列，依次录入GeoGebra平台表格区.
操作指令：L1：FillColumn（1，{73，48，80，63，55，72}），其他各列L2、L3…L10以此类推.
3.2 迁移知识方法，创建动态分组模型
探究问题1：根据表2数据，如何了解这60名学生月度零花钱数目的分布状况？
学生实验：列出样本数据的频数分布表.
学生操作步骤及指令：
3.2.1 创建分组变量n
点击工具栏滑动条按钮，在绘图区创建滑动条.将参数变量命名为n，调整变量n的最小值为5，最大值为12，增量为1.
3.2.2 确定分组界限点
操作指令：L11：Classes（A1：J6，n）.
3.2.3 确定各分组频数
操作指令：L12：Frequency（L11，A1：J6）.
3.2.4 确定各分组区间
操作指令：L13：Sequence（if（i＜n，″［″+L11（i）+″，″+L11（i+1）+″）″，″［″+L11（i）+″，″+L11（i+1）+″）″），i，1，n）.
3.2.5 列频数分布表
操作指令：L14：Append（″分组区间″，L13）. L15：Append（″频数″，L12）.
L16：Append（L14，″合计″）.L17：Append（L15，Sum（L12））.TableText（L16，L17，″v_|c″）.
3.2.6 绘制频数分布图
操作指令：Histogram（L11，L12）.
学生拖动滑动按钮，改变n的取值，观察频数分布表及频数分布图中不同分组数情况下频数的分布状态，能直观地了解新生月度零花钱的分布情况.
探究问题2：你能估计样本中零花钱数目不少于85元的学生所占比例吗？
学生发现利用频数分布表无法直接解决问题，如果将频数分布图的纵轴由“频数”转化为各分组的“频率”，则问题可以快速解决.
学生实验：列出样本数据的频率分布表.
学生操作步骤及指令：
（1） 确定各分组频率
操作指令：L18=L12/60.
（2） 列出频率分布表
操作指令：L19：Append（″频率″，L18）. L20：Append（L19，Sum（L18））.
TableText（L16，L17，L20，″v_|c″）.
（3） 绘制频率分布图
操作指令：Histogram（L11，L18）.
学生拖动滑动按钮，考查代数区列出的频率分布表，绘图区显示的频率分布图，不难回答探究问题：月度零花钱数目不少于85元的学生所占比例为8%+5%=13%.
3.3 反思实验成果，优化数据分组方式
探究问题3：同学们发现当n=5时，“71”处于第3与第4分组的分组点.如何优化分组方式，确保每一个样本数据都落在某一个分组区间之中.
学生实验：合理调整分组方式，确定分组点.
学生操作步骤及指令：
3.3.1 计算极差
操作指令：c_1=Max（A1：J6）.c_2=Min（A1：J6）.c=c_1-c_2.
3.3.2 决定组距
操作指令：d=Div（c，n）+1. 当n=10时，代数区返回“d=8”.
3.3.3 确定各分组点
操作指令：L21：Sequence（29-0.5+（i-1）d，i，1，n+1）.
3.3.4 确定各组频数及频率
操作指令：L22：Frequency（L21，A1：J6）. L23=L22/60.
3.3.5 确定分组区间
操作指令：L24：Sequence（if（i＜n，″［″+L21（i）+″，″+L21（i+1）+″）″，″［″+L21（i）+″，″+L21（i+1）+″）″），i，1，n）.
3.3.6 列频率分布表
操作指令：
L25：Append（“分组区间”，L24）.L26：Append（″频数″，L22）.L27：Append（“频率”，L23）.
L28：Append（L25，″合计″）.L29：Append（L26，Sum（L22））.L30：Append（L27，Sum（L23））.
TableText（L28，L29，L30，″v_|c″）.
3.3.7 制作频率分布图
操作指令：Histogram（L21，L23）.
学生发现当n=11时，频率分布呈现中间高两边低的特点，分布形态最佳.当n取其他值时，总体上也能呈现出上述特点，但会出现某一组无数据或数据在某几组过于集中等影响统计分析的现象.因此，师生一致决定采用n=11作为最终分组数进行绘制.
3.4 关注实际问题，促进核心素养生成
探究问题4：若要了解零花钱数目不少于80元且不多于90元的学生所占比例，我们该如何调整频率直方图的纵轴？
学生实验：修改频率分布图的纵轴坐标为“频率/组距”.
学生操作步骤及指令：
3.4.1 确定各组相应的“频率/组距”
操作指令：L31=L23/（element（L21，2）-element（L21，1））.
3.4.2 列出频率分布表
操作指令：L32：Append″频率组距″，L31.TableText（L28，L29，L30，L32″v_|c″）.
3.4.3 绘制频率分布直方图
操作指令：Histogram（L21，L31）.
学生发现频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，任意区间的频率均可以直接估计.所以，问题4中零花钱数目不少于80元且不多于90元的学生所占比例可表示为：0.019×（84.5-80）+0.012×（90-84.5）=0.1515，即此部分学生所占比例为15.15%.
3.5 回归实验任务，培育统计方法意识
探究问题5：总结频率分布直方图的作图步骤，并对新生月度个人消费提出合理建议.
步骤一：确定最大值与最小值，计算极差；
步骤二：计算组距、组数，确定分组点；
步骤三：计算各分组频数、频率及相应的“频率/组距”；
步骤四：以“频率组距”为纵轴、“分组区间”为横轴，绘制频率分布直方图.
基于GeoGebra平台的教学设计，给学生搭建了一个自主探索、合作交流、大胆试错，贴近实际的情境和氛围.［5］学生在可视化与探索性的环境中，自主地、积极地学习探究.具体来说，
其一，改进后的教学设计，利用GeoGebra平台指令制表及绘图，节约了课堂教学中手工制表与绘图时间，教师也可以深入指导组内学习，交流讨论及练习时间明显增多，课堂教学环节的时间使用效率显着提高.
其二，GeoGebra平台中，基于分组数n的动态统计模型具有可视化的特性，学生可以直观考察教材之外的多种统计模型.这也成为知识结构内化的重要素材，帮助学生理解合理分组的统计意义，了解统计性思维与绝对性思维的区别.
第三，基于GeoGebra平台的教学设计没有照搬教材的制图步骤，而是灵活运用不同的制图指令，引导学生经历从“频数”到“频率”再到“频率/组距”的探究过程，促进了直观感知到理性认识的过渡，依次开拓学生的数学视野，促进了数学核心素养的生成.
