圆外切三角形与圆的关系

王玉珍

圆外切三角形与圆的关系

王玉珍

我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等，都等于半径.

我们如何运用这些知识解决问题呢？我们一起看下面这个例子.

已知1：如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，⊙O的半径是r.

求证：∠BOC=90°+∠BAC.

图1

【分析】由题可知，点O是△ABC的内心，要求角的关系，联想到“三角形的内心是三角形三条角平分线的交点”，再用前面学的角平分线的知识完成.

证明：∵⊙O内切于△ABC，

∴OB和OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

【总结】通过本小题的解答我们发现，由“⊙O内切于△ABC”得到“点O是内心”进而得到“OB和OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线”这个结论，从而解决了问题.如果我们把题目的条件改为“已知：如图1，OB和OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线”，解题过程还是一样的.

【拓展一】已知条件不变，求证：△ABC的面积

【分析】三角形的面积等于底乘高除以2，但题目中没有告诉高，看到切点联想到切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”，由“⊙O内切于△ABC”得到“点O是内心”，而内心到三角形三边的距离相等，都等于半径，想到把这个大三角形分成三个小三角形，进而求出三个小三角形的面积来解决.

图2

证明：如图2，连接OD、OE、OF、OA.

因为点D是切点，

所以OD⊥AB，

【总结】本小题考查了切线的性质和内心到三角形三边的距离相等，利用把大三角形分成三个小三角形解决了问题.

【拓展二】已知条件不变，若∠ACB=90°，求证：

【分析】要证的结论里出现了半径r，必然想到作辅助线：连接OE、OF，如图3，由切线的性质得OE⊥BC，OF⊥AC，又∠ACB是直角，那么四边形OFCE是矩形，而OF=OE=r，所以四边形OFCE是边长为r的正方形，由切线长定理可知，AD=AF，BD=BE，所以a+b-c=BC+ACAB=BE+CE+CF+AF-BD-AD=CE+CF=2r，整理之后即可得到答案.

图3

这几个问题都借助了圆的外切三角形的知识，有的问题可能只用其中的一个结论就能解决，究竟如何选择，需要我们开动脑筋思考，前后进行联系，这样才能灵活运用相关知识解决问题.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）