文 陈 卓
角是几何图形中非常重要的元素。在证明两条直线互相平行的位置关系、全等三角形的判定、相似三角形的判定、三角函数等数学知识中都会涉及角。圆的性质和对称的特征，赋予以圆为载体的角较强的灵活性，使得这些角能够灵活地互相转化。
例1（2020·山东聊城）如图1，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是________。
【分析】根据菱形的性质得出∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，即可得出∠D+∠AOC=180°。根据圆周角定理得出∠AOC=2∠D，即可求得∠ADC=60°。
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°。
∵四边形OABC为菱形，
二、根据直径与圆周角的关系，实现角的转化
∴∠B=∠AOC，
∴∠ADC+∠AOC=180°。
∵∠AOC=2∠ADC，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°。
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、菱形的性质，将圆中角进行灵活变化是解题关键。
例2（2020·山东青岛）如图2，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，AC交BD于点G。若∠COD=126°，则∠AGB的度数为（ ）。
A.99° B.108° C.110° D.117°
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=∠COD=63°，再 由得到∠B=∠D=45°，然后根据三角形外角性质可以计算出∠AGB的度数。
三、根据弧与角的关系，实现角的转化
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°。
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°，
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°。
故选B。
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
例3如图3，直线AB与⊙O相交于A、B两点，点O在AB上，点C在⊙O上，且∠AOC=40°，点E是直线AB上一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点总共有________个。
【分析】我们要将点E分为在线段AB上（E在⊙O内）、在线段BA或AB的延长线上（E点在⊙O外）这三种情况考虑。再通过角度的计算，我们才能确定E点位置、存在的个数。
解：如图4所示，点E的位置有3个。
当是E1时，∠CE1O的度数为；
当是E2时，∠CE2O的度数为；
当是E3时，∠CE3O的度数为。
所以使DE=DO的点总共有3个。
【点评】弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法。
四、巧用圆中角，妙解综合题
例4如图5，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E。
（1）若∠BAC=40°，则∠ADC=________°；
（2）求证：∠BAC=2∠DAC；
（3）若AB=10，CD=5，求BC的值。
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（3）过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH=∠CAH=∠CAB，CH=BH，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，根据全等三角形的性质得到AG=AH，CG=CH。根据相似三角形的性质得到，设BH=k，AH=2k，根据勾股定理即可得到结论。
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°。
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠ACB=90°-∠CBD。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=90°-∠CBD，
∴∠BAC=180°-2∠ABC=2∠CBD。
∵∠DAC=∠CBD，
∴∠BAC=2∠DAC。
（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH=∠CAB，CH=BH。
∵∠BAC=2∠DAC，
∴∠CAG=∠CAH。
过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∴∠G=∠AHC=90°。
∵AC=AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG=AH，CG=CH。
∵∠CDG=∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
设BH=k，AH=2k，
∴AB=，
∴k=，
∴BC=2k=。
【点评】本题考查了圆内接四边形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质。本题中对圆中角转化进行了较为综合性的运用，对理解知识点有很好的启发作用。
