文 胡荣光
二次函数是初中数学的一个重要内容，是难点，也是重点，更是高中学习的重要基础。二次函数的应用非常广泛，它能客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和常见的数学模型，所以很多实际问题可以用二次函数来解决。下面我们以两个实际问题来分析，希望对大家二次函数的学习有所帮助。
例1如图1，刘爷爷用铁栅栏及一面墙（墙为足够的长度）围成一个长方形兔舍，在AB和BC边各有一个2米宽的小门。刘爷爷共用铁栅栏40 米。设矩形ABCD 垂直墙的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米。
（1）写出S与x的函数表达式；（请写出取值范围）
（2）如果要围成192 平方米的场地，AD的长是________；
（3）能围成248平方米的场地吗？
【解析】（1）本小题的难点是准确地表示出AB 的长度，然后根据长方形面积公式得到函数表达式，最后需利用不等式组求出自变量的取值范围。
根据题意，
得S=x［40-x-（x-2）+2］=-2x2+44x。
∴2＜x＜21。
∴S 与x 的函数表达式为S=-2x2+44x（2＜x＜21）。
（2）将S=192 代入，得一元二次方程，解出方程的根，但要检验是否在（1）的范围内。
当S=192时，-2x2+44x=192。
解得x1=6，x2=16。
∴要围成192 平方米的场地，AD 的长是6米或16米。
（3）将S=248 代入，得一元二次方程，方程无解，说明不能围成248 平方米的场地。本小题也可以求函数的最大值，发现最大值小于248，即说明不能围成248平方米的场地。
方法一：当S=248时，-2x2+44x=248。
化简为x2-22x+124=0。
∵Δ=b2-4ac＜0，
∴方程无解，
∴不能围成248平方米的场地。
方法二：∵S=-2x2+44x=-2（x-11）2+242，
∴当x=11 时，S 有最大值，最大值为242平方米，
∴不能围成248平方米的场地。
例2如图2，某广场要建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O 恰好在水面的中心，OA=1.25 米。由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流形状美观，要求水流在离OA 距离1 米处达到距水面的最大高度2.25米，建立如下坐标系。
（1）求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数表达式；（不要求写取值范围）
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，水流距水面的最大高度应达到多少米？
（4）在直线OB 上有一点D（靠点B 一侧），BD=0.5 米，竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让水落入桶内。圆柱形桶的直径为0.5 米，高为0.2 米（圆柱形桶的厚度忽略不计）。①如果竖直摆放5 个圆柱形桶，水能不能落入桶内？②直接写出当竖直摆放多少个圆柱形桶时，水可以落入桶内。
【解析】（1）本小题由题意易得顶点坐标，所以可设函数表达式为顶点式。
∵顶点为（1，2.25），
∴设函数表达式为y=a（x-1）2+2.25。
∵函数过点A（0，1.25），
∴将A点坐标代入函数表达式，
解得a=-1，
∴函数表达式为y=-（x-1）2+2.25。
（2）首先理解题意，水落在地上，就是当y=0时，求x的值，要注意取舍。
由（1）知y=-（x-1）2+2.25，
令y=0，则-（x-1）2+2.25=0，
解得x1=2.5，x2=-0.5（舍去）。
∴花坛的半径至少为2.5m。
（3）我们知道表达式y=ax2+bx+c 中的a确定抛物线形状，所以题意暗示我们a=-1。
由题意可设y=-x2+bx+c，把点（0，1.25）、（3.5，0）代入，
∴水池的半径为3.5m。要使水流不落到池外，此时喷出的水流最大高度应达
（4）本小题很灵活，我们要能理解（2，1.25）、（1.5，2）这两个点在抛物线上。如果水能够落在桶里，桶的高度应在1.25m 到2m之间。
①由题意得（2，1.25）、（1.5，2）在抛物线上，竖直摆放5个桶的高为1m。
∵1＜2且1＜1.25，
∴水不能落入桶内。
②设竖直摆放圆柱形桶n 个时，水可以落入桶内。由题意得1.25≤0.2n≤2，解得6.25≤n≤10
∵n为整数，∴n的值为7、8、9、10，
∴当竖直摆放圆柱形桶7、8、9、10 个时，水可以落入桶内。
用二次函数解决实际问题是对二次函数学习的综合应用，我们不仅需要根据题意用适当的方法求出函数的表达式及最值，还需要与方程、不等式联系在一起灵活应用。我们更要从题目中体会数形结合、数学建模等数学思想。
