文／燕 娜
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a是常数）是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）当y=0 时的特殊情况，因此，我们在研究一元二次方程时，有时需要借助二次函数的图像来解决问题。
【阅读材料】在实际问题中有时只需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图像来完成。如，求方程x2-2x-2=0 的实数根的近似解，观察函数y=x2-2x-2 的图像，如图1：发现当自变量x=2 时，函数值y=-2＜0，点（2，-2）在x轴下方；当自变量x=3 时，函数值y=1＞0，点（3，1）在x轴上方。因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2 在2＜x＜3 这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3 之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2、3之间有根。
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算当自变量x=2.5 时，函数值y=-0.75＜0，点（2.5，-0.75）在x轴下方，由此可知，方程的这个根在2.5 与3 之间，可以取它们之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3-2.5=0.5。
重复以上操作，随着操作次数的增加，根的近似值会越来越接近真实值。
【问题】用以上方法求方程x2-2x-2=0 小于0 的解，且使所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为________。
【解析】观察函数y=x2-2x-2 的图像，发现：当自变量x=0 时，函数值y=-2＜0，点（0，-2）在x轴下方；当自变量x=-1时，函数值y=1＞0，点（-1，1）在x轴上方。因为抛物线y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2 在-1＜x＜0 这一段经过x轴，也就是说，当x取-1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在-1、0之间有小于0的根。
我们取-1 和0 的平均数-0.5，计算当自变量x=-0.5 时，函数值y=-0.75＜0，点（-0.5，-0.75）在x轴下方，所以方程的这个根在-1与-0.5 之间，可以取它们之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于0.5。再求-1和-0.5的平均数-0.75，计算当自变量x=-0.75 时，函数值y=0.0625＞0，点（-0.75，0.0625）在x轴上方，所以方程的这个根在-0.75 与-0.5 之间，可以取它们之间任意一个数作为近似解，由-0.5-（-0.75）=0.25＜0.3，即该近似解与真实值的差都不会大于0.3。
所以在-0.75 与-0.5 之间任意一个数都可以作为近似解，如-0.7。
【点评】解答此题的关键是读懂题意，阅读材料主要描述的是利用函数图像，从中获取信息，从两点逐步逼近求一元二次方程的近似解的方法。积累此经验，我们就可以在以后的学习中解决类似的问题。
变式1 在利用图像法求方程x2=x+3 的解x1、x2时，下面是四名同学的解法。
甲：函数y=x2-x-3 的图像与x轴交点的横坐标是x1、x2；
乙：函数y=x2与y=x+3 的图像交点的横坐标是x1、x2；
丙：函数y=x2-3 与y=x的图像交点的横坐标是x1、x2；
丁：函数y=x2+1 与y=x+4 的图像交点的横坐标是x1、x2。
你认为解法正确的同学有________。
【解析】方程x2=x+3 的解为x1、x2，即方程x2-x-3=0的两个根为x1、x2。
甲：函数y=x2-x-3 的图像与x轴交点的横坐标是x1、x2，即方程x2-x-3=0 的两个根为x1、x2，故甲正确；
乙：函数y=x2和y=x+3 的图像交点的横坐标是x1、x2，即方程x2=x+3 的两个根为x1、x2，故乙正确；
丙：函数y=x2-3 和y=x的图像交点的横坐标是x1、x2，即方程x2-3=x的两个根为x1、x2，故丙正确；
丁：函数y=x2+1 和y=x+4 的图像交点的横坐标是x1、x2，即方程x2+1=x+4 的两个根为x1、x2，故丁正确。
故答案为甲、乙、丙、丁。
变式2 下表给出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值。那么方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是（）。
x y……1-1 1.1-0.49 1.2 0.04 1.3 0.59 1.4 1.16……
A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38
【解析】观察表中数据：x=1.1 时，y=ax2+bx+c=-0.49；x=1.2 时，y=ax2+bx+c=0.04。所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在点（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点（1.2，0），所以方程ax2+bx+c=0 有一个根约为1.2。故选B。
变式3 二次函数y=-x2+mx的图像如图2所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是。
图2
当x=1 时，y=3；当x=2 时，y=4；当x=5 时，y=-5。
结合图像，如图3，因为一元二次方程-x2+mx-t=0 的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t在1＜x＜5 的范围内的交点，即关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5 的范围内有解，所以直线y=t在直线y=-5 和直线y=4 之间（包括直线y=4），所以-5＜t≤4。
A.-1＜x0＜0 B.0＜x0＜1
C.1＜x0＜2 D.2＜x0＜3
图4
变式5 已知二次函数y=x2+px+q（p、q为常数，Δ=p2-4q＞0）的图像与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d。通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图像（如图5），可得出表中第2列的相关数据。
图5
y=x2+px+q y=x2-5x+6 y=x2-1 2x y=x2+x-2 p q Δ x1-5-1 2-2 6 1 2 3 1 14-2 x2 d 12 3
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与Δ 的值，猜想它们之间有什么关系，再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y=x2+px+q（p、q为常数，Δ=p2-4q＞0），是否存在（2）中的关系？请证明你的猜想。
（2）猜想：d2=Δ。
例如：y=x2-x-2中，p=-1，q=-2，Δ=9。
由x2-x-2=0，得x1=2，x2=-1，d=3，d2=9，
∴d2=Δ。
（3）存在。
证明：令y=0，得x2+px+q=0。
∵Δ＞0，设x2+px+q=0 的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，d2=（||x1-x2）2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（-p）2-4q=p2-4q=Δ。
