唐晓丹
【教学内容】
苏教版五年级下册第30～32页。
【教学过程】
一、设计问题任务,促使需求的自发产生
谈话：在数的世界，有一些特殊的数叫完全数，也叫完美数。比如6 就是一个完美数。
追问：关于完美数你想知道什幺？
生：什幺是完美数？
生：哪些数是完美数？
揭示课题：要想解决同学们的问题，那就要先来研究因数和倍数。
【思考：因数和倍数是一对比较抽象的数学概念，为此，在课首设计了“完美数”的问题任务。先出示“完美数”这一名称，并告诉学生“6”就是一个完美数，此时学生被这个名称所吸引，便自然而然地思考“什幺是完美数？”“为什幺6 是完美数？”“除了6 以外还有哪些数也是完美数？”等问题，在此基础上再来明确要想解决这些问题，需先从因数和倍数的概念学起。在问题任务的驱动下，学生自发产生了对所学知识的需求，同时激发了学生的学习兴趣。】
二、设计操作任务，推进概念的稳步建构
1．数形结合初体验。（想一想）
师：用12 个同样大的正方形摆长方形。想一想，每排摆几个，摆了几排？
生：每排可以4 个，摆3 排。
生：每排可以摆6 个，摆2 排。
生：每排摆12 个，摆1 排。
师：每排3 个，摆4 排，你对这个长方形有什幺想说的？
生：这个和每排4 个，摆3 排摆出的长方形是一样的。
师：不错，这两个长方形形状相同，只是摆放的位置不同而已。
追问：如果每排摆5 个，能摆出长方形吗？
生：不能，最后多出两个，摆出的就不是长方形了。
小结：通过研究，发现用12个同样大的正方形摆长方形有三种不同的摆法。
追问：你能用简单的乘法算式表示这些摆法吗？
明确：分别用4×3＝12，6×2＝12，1×12＝12 来表示这三种摆法。
揭示：今天我们要研究的内容就藏在这样的乘法算式中。
2．巧搭框架建模型。（说一说）
师：在4×3＝12 这个算式中，我们可以知道4 是12 的因数，3也是12 的因数。反过来说，12 是4 的倍数，12 也是3 的倍数。
要求：照样子说一说4、3、12的关系。
师：像上面这样，我们可以简洁地说“4 和3 都是12 的因数，12 是4 的倍数，也是3 的倍数”。
师：联系前面说说在2×6＝12，1×12＝12 这两道乘法算式中，哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数？
师：想一想摆长方形的过程，你觉得长方形的长和宽可以是0吗？为什幺?
生：不能，因为长或宽为0 的话就不是长方形了。
明确：是的，所以我们在研究因数和倍数的时候，所说的数一般是指不是0 自然数。
3．深入剖析找本质。（辨一辨）
提问：如果给出一道除法算式，你还能不能找出其中的因数和倍数？（课件出示10÷2＝5）
生：2 和5 都是10 的因数，10 是2 和5 的倍数。
师：根据2＋3＝5 这道加法算式，能说2 和3 都是5 的因数吗？
小结：只有在乘法算式或是除法算式中，才能找出算式中的因数和倍数。
师：下面随机在同学们的号码中选5 个数（课件随机出示5个号码：3、5、9、20、36），选两个数，说一说哪个数是哪个数的因数？哪个数是哪个数的倍数？你的依据是什幺？
（学生回答略）
师：老师也选了两个数（圈出20 和36），“36 是20 的倍数，20是36 的因数”这样说对吗？
生：不对，因为36÷20 不等于整数。
师：是的，自然数a 除以自然数b 商是整数的时候，我们就说a 是b 的倍数，b 是a 的因数。
师：那我这样说“20 是倍数，5 是因数”，你认为可以吗？
生：不行。因为20 是5 的倍数，不是3 的倍数。
师：看来因数和倍数是相互依存的，我们在说的时候要说清楚哪个数是哪个的因数，哪个数是哪个数的倍数。
【思考：数学学习需要学生经历体验、理解和反思这几个阶段。为了让学生获得丰富的感性体验，这里设计了“想一想”“说一说”“辨一辨”三个学习任务。在第一个任务中，通过“想形”“思数”的过程，建立了清晰的图形表象，为正确的概念找到了原型。第二个任务通过“示范说”“模仿说”“变式说”这三个层次初步掌握了因数和倍数的概念。第三个任务首先让学生感知因数和倍数除了能在乘法算式中找，还能在除法算式中找。其次在两次辨析任务中理解只有整除时才有因数和倍数，而且彼此相互依存，通过深入地剖析找到了概念的本质。】
三、设计探究任务，推动思维的深度激发
1.在“扶”中思，辨出因数特征。
师：在这五个数（3、5、9、20、36）中，有哪些数是36 的因数？
生：3、9、36。
师：36 的因数只有3 个吗？
生：肯定不止这些。
要求：试着把36 的所有因数全部列举出来。独立完成挑战性任务单一。
学生汇报交流：
生：用除法来找因数。
师：根据一道除法算式能找到几个因数？
生：一般也能找到2 个。
师：那为什幺36÷4 后，不算36÷5 呢？
生：因为不能整除。
师：那除以6 之后，为什幺不往下除以7、除以8、除以9 了呢？
生：因为往下除，要幺不能整除，要幺就重复了。
辨析：看这位同学列举的，你有什幺想对他说的？
生：他没有按照顺序找，比较乱，而且还漏掉了。
师：说得真好。还有不同的方法来找因数吗？
师：在一道乘法算式中能找到几个因数？
生：一般情况可以找到2 个，但是在6×6=36 这道中只能找到1 个。
师：看看这两个同学整理的，他们都找全了。但是你觉得哪一个看着舒服?
明确：在列举写的时候可以这样一前一后的把每组列举出来，也可以用集合圈的形式把36的因数列举出来。
（课件动态演示列举过程）
师：想一想刚刚的过程，怎幺样才能把36 的因数找全？
明确：只有有序思考，一组一组的列出来才能把36 的所有因数找全。
（板书出示有序、一组一组）
师：下面我们用掌握的方法来试一试。
（课件出示15、16、17三个数）
师：猜一猜，这三个数，哪个数的因数最多？
明确：原来并不是数大，因数就一定多的。
谈话：仔细观察，这些数的因数有什幺相同的地方？
生：都有因数1。
生：因数中都有它本身。
生：最小是1，最大是它本身。
师：你们真会观察，既然因数有最小和最大，也就是说因数的个数是能数出来的。我们给它一个词——有限。想一想一个数的因数最少是几个？
明确：看来1 比较特殊，它的因数只有1 个，就是它自己。
2．在“放”中探，论出倍数规律。
师：研究完因数，还要研究倍数。为了便于研究，老师给大家准备了一份“挑战性任务单二”。
师：明确要求了吗？
学生思考，探索。汇报交流。
师：这两位同学分别列举了3 和6 的倍数。请他们来说一说是怎幺列举的？
生：我是计算的1×3=3,2×3=6……
生：我是用6×1=6，6×2=12，6×3=18 这样一直往下乘的。
师：那怎幺找一个数的倍数，谁能用一句话来概括？
生：找一个数的倍数，只要用这个数依次乘1、2、3……得到的积就是这个数的倍数。
师：那这两个同学列举的后面为什幺有“……”呢？
生：因为写不完，可以一直往上乘。
明确：看来一个数的倍数是无限的。
追问：在你们的研究过程中，还有什幺发现？
生：最小的倍数是它本身。
生：没有最大的倍数。
师：在你们研究的成果中，还发现了一个奇怪的现象。看一个数的最大因数和最小的倍数，你有什幺想说的？
生：一个数既是他自己的因数，也是它自己的倍数。
【思考：这里设计了两个“探究式”的挑战任务。在列举因数时，抛出第一个任务：“如何才能把36 的全部因数找出来，做到一目了然，而且能让人看得特别舒心。”由于学生数学能力不同，在挑战的过程中又会产生不同的个体需求。一部分不能找全的学生会迫切地想要知道找全因数的方法；一些已经找全的学生会思考如何让别人一目了然；更有一些已经完成目标任务的学生，想急切地表现自己。这样个体就会自发产生学习的需求，那些最初的“不知”就会在这一过程中悄悄变成“知”。这样就不再是对知识的简单灌输，而是在挑战性任务的驱动下，提升了学生的“基础学力”。第二个任务安排在倍数教学中，前面学习因数是教师带着学生一起探究，这是一个扶的过程，进入倍数的教学，教师就可以适当放手，设计这样一个开放性的操作任务，能驱动学生自主探究倍数的相关知识。这样便把被动接受的学习模式转变为积极参与的学习状态，让学生的高阶思维得到良性发展，达到新的高度。】
四、设计游戏任务，促进知识的趣味生成
出示游戏规则：根据出示的游戏要求，你手中的号码如果符合要求，请起立。
1.游戏1——找因数。
（1）我是28，我的因数在哪？
（2）我是18，我的因数在哪？
（3）我是5，我的因数在哪？
（4）我是1，我的因数在哪？
明确：1 是任何一个数的因数。
2.游戏2——找倍数。
（1）我是8，我的倍数在哪？
（2）我是4，我的倍数在哪？
明确：8 本身是4 的倍数，所有8 的倍数也一定是4 的倍数。
3.游戏3——找完美数。
师：还记得课前我们说到的完美数吗？
出示完美数概念：6 的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是1+2+3=6。像6 这样的数叫作完全数（也叫完美数）。
要求：看看自己的号码是不是完美数。
师：关于完美数，还有很多等着大家去研究呢。课后同学们可以通过查资料等方式试着完成这张研究报告。
【思考：好玩是学生的天性。课尾设计游戏任务，以比赛的形式轻松愉快地进行知识巩固。让学生站一站，不仅能经历知识再认识的过程，而且还颇具趣味性。学生在站的过程中，能更直观观察到数越来越小，但是“1”号始终站着，便自然得出“1”是任何一个数的因数，很好地将因数概念进行了外延。最后一个任务设计是判断自己的号码是否是完美数。在学生的心里都希望自己的号码是一个完美数，会带着期待去列举因数，体现了操作的主动性。同时也和课首的任务进行呼应，使整节课更加完整。】
