邓廷鹏，张贵仓
（西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）
0 引 言
现今，针对图像处理技术已广泛应用于多领域，尤其是在人脸识别和人工智能等方面，数字图像处理都扮演着重要的环节。根据应用方式的不同，图像处理技术分为图像增强[1-2]、图像分割[3-4]、图像识别、图像特征提取[5]、图像变换等分支。然而，图像噪声严重影响着图像识别和图像变换技术，导致图像出现失真和模糊。因此，必须对图像去噪方法进行研究，才能提高图像视觉效果和质量。
目前常用的图像去噪方法主要有空间域滤波法和变换域滤波法。空间域滤波法主要包括中值滤波法、均值滤波法、双边滤波法、尺度空间滤波法、偏微分方程法以及图像的各种新方法等[6]，这些方法在滤除噪声的同时也容易模糊图像细节[7]；而变换域滤波法主要有两种：频域滤波法和小波变换法，频域滤波法最典型的算法是傅里叶变换，由于算法的复杂性导致去噪效果也不理想，不利于提取和保护图像的细节信息。
小波变换具有低熵性、优良的时频特性、多尺度特性和去相关化等特点[8]，图像经过小波变换后，为了达到较好的去噪效果和细节保持能力，关键在于选取合适的阈值及阈值函数。于是，众多学者先后提出了不同的阈值函数。文献[9]中提出硬阈值函数（Hard Threshold Function, HTF）小波变换，虽然有效保留了信号的局部特征，但在阈值处不连续，会产生伪吉布斯效应，造成视觉失真。文献[10-12]中提出软阈值函数（Soft Threshold Function, STF）小波变换，在整个小波域内虽然函数是连续的，但是进行高阶求导比较困难且导数不连续，可能会出现图像边缘模糊的现象。为解决硬阈值函数和软阈值函数的不足之处，许多学者在此基础上进行改进，提出了一种基于硬、软阈值函数的改进算法——半软半硬阈值函数（Semi-Soft Semi-Hard Threshold Function, SS-SHTF）[13]，又称折中阈值函数，虽然能更大程度消除噪声，但是该阈值函数的连续性和光滑性都不能同时满足，所以仍有美中不足之处。
本文提出一种新小波阈值函数，新阈值函数具有更好的数学特性，如：连续性、光滑性等，过程易于计算且结果更稳定。改进的阈值函数不仅保持了硬、软、半软半硬阈值函数的优点，同时克服了已有阈值函数的缺点。实验结果表明，通过新阈值函数方法进行去噪，不仅提升了图像的主观视觉效果，而且根据计算出的数据进行对比，得出在峰值信噪比（PSNR）、均方值误差（MSE）客观评价方面表现更好，从而说明新阈值函数具有更好的图像去噪效果，可以获得更清晰的图像。
1 小波阈值去噪
1.1 小波变换
小波变换是从空间域到频率域的一种变换，在能量有限空间L2(R)中，设ψ(t)(ψ(t)∈L2(R))为平方可积函数，若该函数傅里叶变换满足以下条件：
则称ψ(t)是一个基本小波函数或母小波[14]。其中，ω表示频率成分。
当基本小波函数ψ(t)经过平移和伸缩后，可以构成L2(R)空间的一个标准正交基：
式中：a称为伸缩因子；b称为平移因子[15]。
对∀f(t)∈L2(R)，连续小波变换公式为[16]：
式中：f(t)表示原始含噪图像信号；a表示频率变化参量；b表示时间变化参量；ψa,b(t)表示小波函数族，，也称为小波函数的积分核。
当小波基函数满足式（1），则小波逆变换也存在[17]，逆变换公式为：
式中(W ψ f)(a,b)为小波变换系数。
从式（3）可以看出，通过小波变换，图像信号从空间域转换到由时间和尺度构成的小波域，并调节伸缩因子和平移因子，从而在不同尺度上对图像信号可以进行观察。
则称ψm,n(t)为离散小波函数，并代入式（3）得：
式（6）称为离散小波变换公式。
1.2 基本思想
在小波去噪过程中，含噪图像经小波变换后，对小波系数进行分解，可以得到处在不同频率范围内的小波系数，图像有用信号一般分布在低频小波系数中，而噪声信号一般分布在高频小波系数中[18]，为解决图像有用信号与噪声信号的分离，通常用小波阈值法选择合适的阈值来识别出噪声信号所对应的小波系数，并置于零。随后运用阈值量化后的小波系数重构图像信号，以实现图像去噪的目的[19]。
假设图像去噪的数学模型为：
式中：f(i,j)为含噪声图像；g(i,j)为原始图像；k(i,j)为高斯噪声，且服从N(0,σ2)分布。
1.3 常见的小波阈值选取
根据小波去噪原理，阈值的估计尤为重要，且阈值估计必须遵循一定规则，才能使小波变换具有较好的去噪能力和保持图像信号的细节能力，否则，将导致图像失真。常见的阈值选择规则有Sqtwolog 通用阈值、贝叶斯（BayesShrink）阈值和最大最小值（Minimaxi）阈值。基于此才能进行小波去噪阈值函数构建的研究与应用。
假设Sqtwolog 通用阈值的估计条件符合噪声的小波系数呈现高斯正态分布，则可以定义为：
式中：M×N表示图像的尺寸；σ表示估计的噪声标准差。
最大最小值（Minimaxi）阈值的定义为：
假设贝叶斯（BayesShrink）阈值的估计条件符合噪声的小波系数呈现高斯分布，则可以定义为：
式中：σ2为噪声方差；σk为噪声高斯标准差。
1.4 常见的阈值函数
通过阈值对高频小波系数进行运算，在阈值化过程中加入不同阈值函数来计算确定出不同小波系数，最后再保留重构，从而达到去噪效果。
常见的小波阈值函数主要包括：硬阈值函数（HTF）、软阈值函数（STF）和半软半硬（折中）阈值函数（SS-SHTF）[20]。
硬阈值函数（HTF）定义为：
软阈值函数（STF）定义为：
半软半硬（折中）阈值函数（SS-SHTF）定义为：
式中：t表示阈值；α表示折中系数，且α∈(0,1]；xij表示噪声图像分解的未处理的小波系数；yij表示处理后的小波系数（也称为小波估计系数）。
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硬阈值函数对分解的小波系数处理的规则是：将大于阈值的小波系数保留，小于阈值的小波系数置为零。软阈值函数对分解的小波系数处理的规则是：将大于阈值的小波系数的绝对值减去阈值得到的结果作为高频小波系数，小于阈值的小波系数置为零。
硬阈值函数和软阈值函数虽然作为小波阈值函数去噪中的经典函数，但在图像噪声信号处理过程中都存在一定的缺点。硬阈值函数在阈值处是间断的，会导致产生伪吉布斯现象，在图像进行重构后会出现图像失真。软阈值函数可能会造成重构后的图像过于光滑，使图像出现模糊现象。基于此，有了半软半硬阈值函数，该函数相较于前两者而言，便于更好地消除噪声。然而，在处理图像噪声中，难以实现阈值函数的特性，如：连续性、光滑性等，且运算时间较长、效率较低。因此，这三种阈值函数都未能取得理想的去噪效果，其函数图像分别如图1～图3 所示。
图1 硬阈值函数图像
图2 软阈值函数图像
图3 折中阈值函数图像
2 改进的小波阈值函数
2.1 新阈值函数
针对前三种小波阈值函数去噪过程中存在的缺陷，并结合其各自优点，本文对小波阈值函数进行了改进，构建一种新的阈值函数定义为：
式中：t为小波阈值；xij为原小波系数；yij为处理后的小波系数；α为调节因子，调节参数用于保持阈值函数的稳定性和连续性。
从数学性质的角度分析新改进的阈值函数，主要从阈值函数的连续性、渐近性、偏差性以及光滑性这四个方面进行推导。
1）连续性
同理，可得：
根据数学分析的连续性，当α=1 时，改进的阈值函数在xij=±t处连续。因此，此阈值函数具有连续性。
2）渐近性
同理，可得：
从而，有：
联立式（23）、式（24），可得：当xij→∞时，新构建的阈值函数渐近线为：
3）偏差性
由式（24）可知：当xij→∞时，yij趋近于xij，所以消除了存在的偏差。
4）光滑性
当参数α取不同值时，绘制对应改进的函数曲线，如图4 所示。
图4 新小波阈值函数图像
从图4 可以看出，在定义域内，当α∈(0,+∞)时，函数曲线的弯曲程度不同，且函数曲线在阈值处的附近都是比较光滑的。通过α的多次运算，得出结论：若α取值过大，处理后的高频小波系数与原小波系数存在较大偏差，且在一定范围内间断，因此α应尽可能取较小值。最后经过实验表明，当α=1 时，所构建的阈值函数可获得最佳的去噪效果。
2.2 图像去噪算法
新小波阈值函数去噪算法步骤如下：
步骤1：输入原始图像g(i,j)；
步骤2：输入含高斯噪声图像f(i,j)；
步骤3：对含噪图像进行小波变换，得到小波系数xij；
步骤4：阈值化处理小波系数，得到小波估计系数yij；
步骤5：利用yij进行小波重构，获得去噪后图像(i,j)；
3 实验结果与分析
3.1 仿真实验
实验采用的硬件设备为：处理器IntelⓇCoreTMi7-10750H CPU @2.60 GHz 2.59 GHz，内存为16.00 GB；系统为64 位Windows 10 操作系统；运行环境为Matlab R2020b。
为验证本文所提出的新小波阈值函数图像去噪算法的有效性，本文使用3幅标准图像（Barbara、Girl 和Lena）及1 张拍摄的真实图像（Flower），添加方差为0.01的高斯噪声，然后对不同含噪图像进行去噪，去噪效果如图5 所示。从图5 可以看出，使用文中改进的阈值函数方法进行去噪，所产生的视觉效果优于其他阈值函数方法。
图5 加入方差为0.01 的高斯噪声的图像去噪结果对比
3.2 客观性评价
针对不同的实验图像，为进一步衡量文中改进的阈值函数的性能，采用峰值信噪比（PSNR）、均方值误差（MSE）客观评价法对图像去噪后的效果进行比较。PSNR 值越大，表示图像质量越好；MSE 值越小，表示图像质量越好，其定义分别为：
计算出不同阈值函数的峰值信噪比与均方值误差，如表1 所示。
表1 加入0.01 高斯噪声的图像去噪结果评价
通过对表1 中的数据进行对比，可以看出改进的阈值函数相较于其他阈值函数而言，PSNR 更大，说明具有更高的信噪比，且MSE 更小。因此，文中提出的方法所产生的去噪效果更好。
4 结 语
为了更好地去除含噪图像，本文提出了一种新的小波阈值函数去噪算法。该算法以小波阈值去噪基本原理为基础，通过分析已有的阈值函数特性，使得改进的阈值函数不仅保持了硬、软、半软半硬（折中）阈值函数的优点，同时克服了已有阈值函数的各自不足之处，从而得到更清晰的图像。实验结果表明，本文提出的阈值函数方法是一种有效的方法，该方法不仅提升了去噪图像的主观视觉效果，而且在峰值信噪比、均方值误差客观评价方面表现更好，得出本文提出的去噪方法的优势性，在处理高斯噪声图像时更具有应用价值。
