文/朱清芳 赵涛 查振邦

1.根据积分区域的特点判定

解画出积分区域D如图1所示，D既是X型又是Y型。

图1

将D看作X型时，积分区域D的不等式表示为：

将D看作Y型时，D的不等式表示为：

显然，将D看作X型时，需要计算两个二重积分，而将D看作Y型时只需要计算一个二重积分，因此将D看作Y型区域，选取先x后y的积分顺序，利用D的不等式表示式(2)，计算如下。

如果积分区域D既是X型又是Y型，在选择积分顺序时应优先选择计算量小，计算相对容易的积分顺序。

2.根据被积函数特点选取

图2

解画出积分区域如图2所示。D既是X型又是Y型。如果将D看作X型时，积分区域D的不等式表示为：

当积分区域 D 既是X型又是Y型时，还应该考虑被积函数的特点。如果被积函数先对x求积分无法求取时(如例3)，则需要换种积分顺序，采取先对y积分，反之亦然。

3.积分区域为对称区域

图3

解画出闭区域D的图形如图3所示。闭区域D关于x轴对称，而被积函数是关于x轴的奇函数，根据对称函数在所对称区域积分的公式，则有：

如果积分区域D既是X型又是Y型时，应当综合考虑积分区域的特点，被积函数积分的难易程度来确定积分顺序，如果是积分区域是对称的，则应该优先考虑利用对称性简化计算。

[1]同济大学数学系编.高等数学(下册)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]西北工业大学高等数学教材编写组编.高等数学(下册)[M].科学出版社，2013.