陆青
[摘 要] 二次函数是初中数学的重点内容，在中考中通常以综合题的形式出现，深刻领悟考题的突破思路，掌握解题的具体策略是提高解题效率的关键，文章以一道二次函数综合题为题，剖析解题思路，总结解题方法，提出相应的解题建议.
[关键词] 二次函数;考题;解析式;最值;存在性
考题呈现
考题 如图1所示，已知直线l的解析式为y=-x+3，与坐标系的x轴和y轴分别交于点B和C，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点A，B和C，其中点A的坐标为（1，0），回答下列问题.
（1）试求抛物线的解析式;
（2）如果点M是抛物线x轴下方的一个动点，现过点M作MN∥y轴，与直线BC相交于点N，试求线段MN的最大值;
（3）在问题（2）所述条件成立的情况下，分析线段MN取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBN是以BN为腰的等腰三角形，若存在请求出点P的具体坐标，若不存在，请说明理由.
思路突破
本题目主要考查二次函数的相关知识，分为三个小问，可以依据题目分三步开展解题突破，下面给出每一步的思路分析及对应的简解.
第一步：巧构方程组，突破解析式
该问求解抛物线的解析式，一般的思路是先设出抛物线的解析式，然后依据已知条件，将已知点的坐标代入解析式，从而构建方程组，通过解方程组的方式求得解析式的系数. 审题可知：已知抛物线上点A的坐标，因此还需要求得其他两个点的坐标才能构建求解全部系数的三元一次方程组. 分析可知直线l：y=-x+3与抛物线有两个交点，并且两个交点分别位于坐标系的x轴和y轴上，因此可以通过令x=0和y=0的方式代入直线方程来求解点B和点C的坐标，进而完成三元一次方程组的构建.
（1）解：对于直线l的解析式y=-x+3，令x=0，解得y=3，则点C的坐标为（0，3），再令y=0，解得x=3，则点B的坐标为（3，0）. 因为A，B，C三点均在抛物线上，故必然满足解析式y=ax2+bx+c，分别将三点的坐标代入其中，可得三元一次方程组a+b+c=0，
9a+3b+c=0，
c=3， 解得a=1，b=-4，c=3，所以抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
第二步：构建解析方程，突破线段最值
该问求动点问题中的线段最值，在初中阶段，利用所学知识求解最值问题有以下几种方式：①利用非负性求最值;②利用函数的单调性求最值;③利用二次函数的顶点来求解最值. 在该问中，我们已知MN∥y轴，其隐含深意是点M和N的横坐标值是一致的，即x=x. 因需求线段MN的最大值，就可以将MN的长度直接表示为点N的纵坐标减去点M的纵坐标，即MN=y-y. 整理后发现该式为一个二次函数，因此可以通过分析二次函数性质的方式获得最值的情形. 因此该思路构建的关键点有两个：一是设出点M的坐标，并构建与之关联的点N的坐标;二是确定坐标关键系数的取值范围，为后续二次函数的值域分析作铺垫.
（2）解：设点M的坐标为（m，m2-4m+3），又因直线BC的解析式为y=-x+3，MN∥y轴，x=x，所以点N的坐标为（m，-m+3），点B和C位于抛物线上，点M为抛物线x轴下方一个动点，所以m的取值范围为1 MN =-m+3-（m2-4m+3）= - m-2+，该式为MN关于m的开口向下的抛物线，分析可知当m=时，线段MN的长度取得最大值，且最大值为. 第三步：分类探讨情形，突破存在性问题 该小问为本考题的难度最大之问，具有一定的拓展性，属于压轴题中常见的“存在性问题”，对于该问我们可以采用如下处理方式：首先假设存在这样一点使得各条件均满足，然后利用该条件去验证，如果能求出，就表明假设成立，如果有矛盾，则表明不存在，假设错误. 在第（2）小问条件成立的情形下可以确定点N和M的坐标，问题分析在抛物线的对称轴上是否存在一点P，可知点P的横坐标数值，从而可假设出点P的坐标，题目要求使得△PBN是以BN为腰的等腰三角形，其中隐含着等腰三角形顶点讨论问题，即存在顶点为B和N两种情形，可采用分类讨论的方式加以确认分析. 知识归纳 上述是典型的以直线与抛物线相综合的函数问题，考题的三个小问分别涉及函数解析式的求解、线段的最值分析以及函数问题中等腰三角形存在性的讨论. 其中的分析思路和解题方法具有一定的指导意义，下面对其总结归纳. 1. 确定二次函数的解析式 总体来看，可以将考题第（1）问归结为利用一般式求解二次函数的解析式，其本质还是求解解析式中的待定系数，通常情况可以按照如下步骤进行：首先将一般式设为y=ax2+bx+c，其中a≠0，待定系数的个数决定了需要求得曲线上点的个数;然后将点的坐标或对应值代入上述一般式，从而构建出相应的方程组，代入两个点构建的就是二元一次方程组，代入三个点就是三元一次方程组;获得相应的系数值后，只需要将其代入所设一般式即可获得二次函数的解析式. 2. 分析二次函数中的最值 函数中的最值问题具有多种类型，求线段的最值只是其中最常见的一种，上述第（2）问所采用的是构造函数的方法，即构造关于线段的函数模型. 我们知道数学上的函数模型是一种强大的解题工具，其性质不仅可以分析单调性问题，绘制相应的图像，还可以求解最值问题. 在解题时我们可以利用条件构造出相应的函数模型，然后研究函数模型的性质，包括其单调性和值域，从而获得定义域下的合理取值. 而另一种分析最值的方法为线段公理法，该方法相对较为简洁，即利用公理“两定点之间，线段最短”或公理“垂线段最短”，解题时只需要基于相应的几何知识直接求解满足情形的最值点即可. 3. 讨论函数与几何存在性 考题的第（3）问求解二次函数中等腰三角形存在性的问题，属于函数与几何相结合的综合问题. 求解该类问题最为有效的策略是构造方程，同时辅助构图的方式，该策略的特点是问题分析直观明了，计算讨论精确简捷. 函数中等腰三角形存在性问题需首要分析的是三角形的等腰情形，确定等长线段，对于不明情形可以采用分类讨论的方式，即假设其顶点，借助尺规作图， 分别确定满足情形的底边上的点，而在求解点的坐标时可以考虑结合等腰三角形腰相等的性质，构建相应的方程，通过解方程求值. 教学建议 1. 关注考题的思路讲解 中考对于二次函数的考查通常以综合题的形式出现，相对较为复杂，在解题时除了需要具备扎实的基础知识外，还需要掌握一定的解题技巧和思路. 如上述考题第（2）问分析线段长的最值，设出点的坐标，构建关于线段长的二次函数，然后利用二次函数的性质来加以分析. 而第（3）问分析等腰三角形存在性的问题，采用分类讨论的方式，首先确定等腰三角形的顶点，然后基于其性质构建相应的代数方程，通过解方程求解. 因此，教师应将解题思路的讲解作为重要任务，引导学生明晰解题思路，掌握具体的解题步骤，形成自我的解题策略. 2. 渗透考题的解题思想 初中数学的解题分析实际上是在解题思想的指导下进行的，即运用相应的数学思想来完成解题思路的构建. 如上述考题在解题时除数形结合思想外，还运用了方程思想、构建思想. 即运用思想方法，构建相应的数学模型，通过分析模型的性质来达到突破解题的目的. 考虑到数学的思想方法理解上较为抽象，在实际教学中应借助具体的内容来逐步渗透，引导学生掌握运用思想方法解题的技巧和步骤，深刻体会思想方法在解题中的便利性，逐步提升学生的解题思维，促进学生综合素养的发展.
