许翠莉 王师森 于彬
[摘 要] 以“二次函数与一元二次方程（1）”为例，详细介绍其教学实录和评析，并给出了“三会”视角下课例设计的三点思考.
[关键词] 二次函数;一元二次方程;三会
近日，在我校数学组组织的“一课三磨，定向引领，促进青年教师专业成长”活动中，笔者有幸被选为提升对象，执教鲁教版“二次函数与一元二次方程（1）”一课，得到听课同仁们的一致好评. 这节课是鲁教版九年级上册第三章第七节的第一课时，更加注重以“问题串”的形式引导学生利用二次函数解决方程问题，特别是现实生活中的实际问题，因此本节课是培育学生抽象、推理、模型等数学思想的良好载体. 下面以教学实录的形式进行简单介绍，并给出几点思考. 不当之处，敬请指正.
课堂实录及设计意图
1. 情境引入，疑点反思
师：同学们，学习了物理，我们知道，由于万有引力，在地球上向上抛出物体，它们的运动轨迹是……（教师留白）
生（众）：抛物线.
师：下面我们就来看一实际问题：将一小球向上抛出，它离地面的高度与运动时间如图1所示. 请同学们思考，经过多少秒小球落地？
生（众）：8秒.
师：同学们很快给出了答案，那幺，你是怎样想到的？
生1：通过图1可以看到，当它离地面0米时，用时是8秒.
师：这位同学通过看图得到8秒，图像与x轴有几个交点？交点的坐标是什幺？
生2：两个，分别是（0，0），（8，0）.
师：我们由函数图像，从图形的角度进行了解答. 小明同学在思考的时候不小心将墨水洒到了图上（如图2所示），横轴的数据看不清了，你还有其他方法帮助小明求解幺？
生3：小球落地时，小球离地面的高度为0米，即h=0. 将h=0代入函数h= -5t2+40t，得到方程-5t2+40t=0，把方程的根求出来，得到8秒.
师：非常好. 刚才这位同学让h=0，把函数转化成了方程，这是一个什幺方程？
生（众）：一元二次方程.
师：嗯，这里我们通过求方程的根，从代数的角度进行了解答. 这节课我们就一起来探究“二次函数与一元二次方程的关系”（板书课题并出示学习目标）.
师：说到一元二次方程，下面我们先来复习一下基础知识. 一元二次方程的一般形式是什幺？它的根是怎样的？
生4：一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）. （若回答的是y=ax2+bx+c，教师纠正）
生5：一元二次方程的根有三种情况：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根.
师：嗯，如何判断一元二次方程根的情况呢？
生6：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0.
师：同学们的基础知识掌握得很牢固. 我们再回过头来看一下函数的图像，除了与x轴有两个交点外，还有一个点非常重要，这个点是什幺？它的坐标是什幺？
生（众）：顶点，坐标是（4，80）.
师：嗯.
评析 以学生熟知的抛球情境引入新课，很好地激发了学生学习的积极性和求知欲. 教师引导学生观察图像时，通过不断地追问，引导学生有方向地思考，培养学生严密性思维和逻辑推理能力. 学生利用已有的知识能够根据图像快速得出答案，此时教师趁热打铁，抓住学生思维的生长点，创设墨水污渍情境，给学生制造困难，倒逼学生发散思维，再次进行思考. 学生不能通过图像得到答案，求知欲与成功欲促使其不得不去想其他方法. 由于学生已经具备了一元二次方程的知识，经过教师这一“逼迫”，能够想到将函数转化成方程求解. 学生经历了用函数与方程思想解决同一问题之后，教师向学生出示了本节课的课题，增强了学生的学习兴趣，让学生深深地感受到利用数学知识能更好地解决现实生活中的实际问题. 此外，引导学生回顾了一元二次方程的基础知识，为突破本节课的重难点做好了铺垫.
2. 新知探究，问题反思
师：接下来，我们就通过特例研究二次函数与一元二次方程之间有怎样的关系. 我们先来看函数y=x2+2x （如图3所示），观察其图像. 该函数图像与x轴有几个交点？交点的坐标是什幺？
生7：函数图像与x轴有两个交点，分别是（0，0），（-2，0）.
师：很好. 那我们继续思考：利用交点的坐标，你能说出当x取何值时，y=0吗？
生8：x=0或x=-2.
师：当y=0时，y=x2+2x变成了什幺？
生9：一元一次方程x2+2x=0.
师：很棒. 不用计算，请同学们直接说出这个方程的根.
生（众）：x1=0，x2=-2.
师：体会上面的几个问题，我们来总结一下抛物线与x轴交点的坐标与方程的根有什幺关系.
生10：（0，0），（-2，0）;x1=0，x2=-2. 交点的横坐标等于方程的根.
生11：交点的横坐标等于方程的根. （重复了一遍）
师：非常好，同学们齐心协力，准确简练地做出了总结：函数y=x2+2x与x轴有两个交点，对应方程x2+2x=0有两个不相等的实数根. 判别式呢？
生（众）：b2-4ac>0.
师：嗯. 抛物线与x轴的交点，除了有两个外，还有哪些情况？
生（众）：一个交点或没有交点.
师：很好. 下面我们先看“一个交点”的情况，以函数y=x2+2x+1的图像（如图4所示）为例，同桌两人相互说说屏幕上的三个问题（略），并类比“两个交点”的情况后进行总结（同桌交流，教师巡视，时间2分钟）. 下面请同桌的一位同学回答问题，另一位同学进行总结，同桌两人可以相互补充纠正.
生12：图像与x轴有一个交点，坐标是（-1，0）.
生13：当函数y=x2+2x+1与x轴有一个交点时，方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，b2-4ac=0.
师：这两位同学配合得很默契. 最后，我们再来看一下函数y=x2+2x+2的图像. （如图5所示）
生14：图像与x轴没有交点，方程x2+2x+2=0无实数根，b2-4ac<0.
生15：当函数y=x2+2x+2与x轴没有交点时，方程x2+2x+2=0没有实数根，b2-4ac<0.
师：嗯，以上三种情况是抛物线开口向上时，请同学们思考：当抛物线开口向下时，以上结论还成立吗？（如图6所示）
生（众）：成立.
评析 此环节是本节课教学的重难点，教师设计了三个特殊的例子，以“问题串”的形式引导学生层层深入思考，学生经历了过程探究、问题思考之后有所感悟，教师再引导学生总结. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程. ”这样的设计充分体现了“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”. 对于第一个函数y=x2+2x，教师引导得较细，目的在于引导学生学会探究性学习;有了第一个函数作为基础，针对第二个函数、第三个函数，教师就完全放手了，让学生能够类比学习，自己归纳总结第二种、第三种情况;以上三个特例是抛物线开口向上的情况，教师以问题的形式引导学生思考抛物线开口向下的情况. 多角度、全方位地思考，由特殊到一般，总结出规律，避免了以偏概全，体现了数学思维的严密性和严谨性.
3. 归纳总结，达成反思
师：因此，我们总结出二次函数与一元二次方程的关系，（交点）三种情况分成几类？哪几类？
生16：两类，有交点和无交点.
师：方程的根呢？
生17：有实数根和没有实数根.
师：所以，当抛物线与x轴有交点时，方程有实数根，b2-4ac≥0. 那幺，同学们能用一句话说清交点的坐标与方程的根的关系吗？（以小组为单位，展开讨论）
生（众）：交点的横坐标是方程的根.
师：同学们讨论的结果非常正确. 给大家一点时间，对照PPT，将学案上的“归纳总结”补充完整（在师生互动、生生互动中，PPT渐次呈现，如图7所示）. 同学们掌握了吗？下面我们通过例题和练习题试一试（略）.
评析 此环节的教学主要是将本节课的重点系统化，帮助学生建立知识体系，形成知识框架. 有了理论支撑，教师设计了例题和练习题，让学生在练习的过程中体会知识的应用，巩固新知.
4. 解决问题，反思方法
师：最后，我们再来看看课堂开始给出的实际问题（如图8所示），继续思考，小球何时离地面的高度为60米？
生（众）：2秒或6秒.
师：你能得到哪个方程？
生（众）：-5t2+40t=60.
师：什幺时候小球离地面的高度会达到80米？
生（众）：4秒.
师：你又能得到哪个方程？
生（众）：-5t2+40t=80.
师：小球离地面的高度能达到90米吗？为什幺？
生18：不能！因为函数图像与直线h=90没有交点.
师：非常棒.
评析 学生在前面已经系统化学习了二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系，能够深入理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以看作是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0的交点的横坐标. 此环节再次回归课堂开始给出的实际问题，引导学生用已学的知识回过头来解决这个实际问题，让学生感受到数学来源于生活又服务于生活. 此环节以问题的形式，对本节课的重难点进行适当延伸，引导学生更深层次地思考，为以后的进一步学习奠定基础.
5. 达标检测，总结反思
略.
总评
新课标修订组组长史宁中教授指出：数学核心素养的培育要引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界（简称“三会”）. 下面从“三会”的角度对上述设计进行简单评析.
1. 会用数学的眼光观察世界
数学来源于生活又服务于生活. 上述课例从现实生活中的实际问题开始（此时y=0），引导学生用数学的眼光去观察这个问题，进而将其抽象为“二次函数与一元二次方程”相关的数学问题，让学生从“数”与“形”这两个角度去思考问题，体现数学问题的层次性和多样性. 后面通过回归生活问题（此时y≠0），引导学生采用类似的方法解决上述问题. 整个过程体现了数形结合与类比等数学思想，教学中教师也应该有意识地渗透数学思维，特别要引导学生学会将生活问题（或其他问题）抽象为数学问题，进而发现问题和提出问题，实现“两能”到“四能”的突破.
2. 会用数学的思维思考世界
数学是思维的体操，数学教学重在培养学生的思维. 在本节课的教学中，学生获得数学问题之后，教师引导学生首先从前面已经熟悉的一元二次方程的角度去思考问题;然后引导学生自行尝试从刚刚学习的二次函数的角度去解释上述问题;随后，在教师“脚手架”问题的引导下，让学生自行将一元二次方程和二次函数组合在一起重新思考问题，进而获得二者之间的关系. 顺利解决上述特例（y=0）之后，教师放手让学生独立探索y≠0的情况，此时例题的抛物线的开口都是向上的，为了体现数学思维的严密性和严谨性，于是教师提出了问题：如果抛物线的开口向下，上述结论还成立吗？这样，通过一系列“问题串”的引导和学生的自主探究，学生经历了上述问题完整的解答过程，提升了学生的思维水平，进而实现用数学的思维思考世界，获得严密的、严谨的逻辑推理能力.
3. 会用数学的语言表达世界
在学生通过自主探究和小组合作获得相关结论之后，能否用自己的语言（数学语言）表达出来至关重要. 因此，在本节课的教学中，教师首先让学生用自己的语言表述所思所想，然后通过“个人说”“同桌说”“小组说”“全班说”等四个环节让学生逐步完善所思所想，进而完成完整的解决过程. 这不仅培养了学生的表达能力，而且为后续相关内容的学习奠定了坚实的基础.
