［摘 要］ 学生在学习“锐角三角函数”时，大部分都是在生硬地记忆，并没有达到对概念本质的理解，所以这一知识一直是教学的难点. 文章认为，教学“锐角三角函数”时，可以通过创设教学情境，让学生经历探索过程，深化学生对概念的理解，从而发展学生的数学核心素养.
［关键词］ 正切函数；函数意识；概念教学
锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与其中两条边的比值之间的函数关系，它不同于一次函数、反比例函数以及二次函数，它的自变量是“锐角的集合”. 对学生而言，锐角三角函数是抽象的，是初中数学学习的一个难点.调查表明，学生学完锐角三角函数的概念后难以理解其本质，不明白为什幺可以称之为函数［1］. “正切”是苏科版教材介绍的第一个锐角三角函数，帮助学生理解上述问题的关键在于带领学生发现直角三角形中的锐角与其对边和邻边的比值是“一一对应”的函数关系［2］. 为此，在探索“正切”概念的教学中，笔者尝试通过创设教学情境，引导学生动手操作，探究正切函数的本质，发展学生的数学核心素养.
教学目标分析
“正切”是苏科版教材九年级下册“锐角三角函数”第1节的内容，其中锐角度数与相应比值之间是一一对应的关系，这是本节内容教学的难点. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教师应重视单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联［3］. 因此，本节课要让学生既见“木”又见“林”，从整体上先感受锐角三角函数，再细化认识正切. 正确理解正切概念，能为学生后续知识的学习打下良好的基础. 通过本节课的学习，学生应达成如下目标：通过动手操作、推理验证等过程，知道并理解正切函数的概念；会在直角三角形中求出已知锐角的正切值；经历操作、观察、推理、思考等过程，感悟符号化、数形结合等数学思想，培养学生的抽象能力和概括能力，发展学生的理性思维，提升学生的数学核心素养.
教学过程
1. 情境引入，激发学生思考
在生活中，斜坡带给我们方便（PPT呈现几张不同情境下的斜坡图片），观察图片并思考下列问题.
问题1：哪个山坡更好走？为什幺？
问题2：通过什幺能描述山坡的倾斜程度？
问题3：除了用坡角的大小来描述山坡的倾斜程度，还可以用什幺方法来描述？
【课堂回放】
师：（PPT呈现两幅图）这两幅图中的山坡，哪个更加陡峭？
生1：第二幅图看起来更陡一些.
师：通常我们借助什幺来描述山坡的倾斜程度？
生2：坡角，第二幅图的坡角比较大.
师：对，可以把两个山坡抽象成∠A和∠A′（显示动画），度量角的度数，比较角的大小即可. 在实际问题中，有时候不太方便测量角度的大小，那你们还有别的方式刻画坡面的倾斜程度吗？（稍作停顿）
师：换言之，能否在不度量角度的情况下，比较两个角的大小呢？可以尝试从边的角度来思考.
生3：我想尝试作垂线，比较垂线段的长短.
师：请同学们借助操作纸试一试.
生3：我发现，只看垂线段的长度并不能说明角的大小，垂线段与角的顶点距离近一点时，就短一点；远一点时就长一点，所以这一做法没法比较.
师：那有没有办法能使垂线段具有可比性呢？
学生自主探索，教师则个别指导. 当学生思考一会儿后，进行组内交流，教师请部分小组展示他们的思考成果.
小组1：我们在两个角的边上先截取相同的长度（AB=A′B′），再分别向底边作垂线段BC和B′C′（如图1所示），在这两个直角三角形中进行比较，结果发现BC<B′C′，于是我们小组猜想对边长的角度大. 当然，我们组还发现，AC>A′C′，于是猜想邻边长的角度反而小.
小组2：我们组的想法和小组1的想法有点相像，区别在于我们是截取邻边相等，然后比较对边的长度，结果发现BC<B′C′，于是猜想对边长的角度大；或者比较斜边的长度，发现AB<A′B′，于是猜想斜边长的角度大.
师：刚才两个小组操作中的“截取”，可以看作是固定了垂线段的相对“位置”. 借助刚才的过程，大家想一想，能不能在不截取相同长度的情况下直接通过直角三角形中边的关系比较角的大小. 请借助操作纸试试看.（教师给予学生一段时间研究，并让学生互相交流）
生4：之前固定“位置”后就好比较了，我想，这些线段的长度是相对的，于是我任意作垂线BC和B′C′，度量出两个三角形三边的长度（如图2所示），计算对边与邻边的比值. 计算后第一个三角形的比值约0.45，第二个三角形的比值约0.91，所以第一个三角形的比值比第二个三角形的比值小.
师：有和生4一样计算对边与邻边的比值的同学吗？（有一些学生点点头）你们也发现第二个三角形的比值比较大吗？
生5：我的大小关系和生4的一样，不仅如此，计算的比值都和生4的一样.
师：这是巧合吗？我们晚一点点再来解决这个问题. 你们还有其他的方法吗？
生6：我是计算对边与斜边的比值，分别约0.41和0.67，发现也是第一个比值比第二个比值小.
……
师：那这些边的比值到底能否刻画角的大小呢？这就是我们接下来这章所要研究的内容. 本节课我们便从其中的一种开始研究，也就是直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值能否帮我们刻画锐角角度的大小.
设计意图 引入生活实例，体现数学源于生活，激发学生的学习兴趣. 学生通过动手操作，在控制变量的情况下，初步感受直角三角形中，角的大小可以通过边的长度之间的关系来比较，并提出猜想.
2. 合作探究，明晰概念
探索活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的大小能否通过∠A的对边与邻边的比值来刻画呢？
师：为了探索∠A的大小能否通过它的对边与邻边的比值来刻画，我们首先得确定这个比值会不会因为边的长度的变化而发生改变.
请学生借助操作纸，边操作边思考.
生7：我发现在射线AB上取不同的点，作垂线后得到的直角三角形都相似（如图3所示），所以∠A的对边与邻边的比值相等. 所以不管点取在哪里，这个比值都不变.
（具体证明过程略）
师：那幺改变角的大小，这个比值会改变吗？
学生借助操作纸，经历“作图—测量—计算”过程.
生8：我画了一个30°的角，在它的一边上取一点后作垂线，度量出两条直角边的长度，计算出30°的对边与邻边的比值约等于0.6.
生9：我画了一个40°的角，用同样的方法计算出来的比值约等于0.8.
……
教师借助几何画板向学生展示：锐角取任意值时，都能计算出对应比值；当锐角角度发生变化时，比值也会发生变化；当角度确定时，比值也随之确定.
师：那比值与角度之间的这种关系与之前我们学习过的什幺概念比较类似？
生（齐）：函数.
师：对，这是一种新的函数.它揭示了直角三角形中边与角之间的关系. 那你们能表示出对边与邻边的比值与角度之间的函数关系吗？能像一次函数、反比例函数、二次函数关系式那样具体吗［4］？
教师给予学生一些时间，学生也认真讨论了，但很快他们便没有了方向.
师：过去，1÷7除不尽，我们用来表示其准确值；在与圆有关的计算中，我们用π来准确表示圆周率；我们还用x=±来准确表示方程x2=3的解. 数学家们为了能够准确地表达我们今天研究的这个函数，创造了一个符号，即tan（板书）.（如图4所示）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的对边a与邻边b的比值称为∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠Ａ的对边/∠Ａ的邻边=BC/AC=a/b.
教师详细介绍“tanA”的读法、写法以及注意事项，要求学生尝试写出∠B的正切表达式.
设计意图 让学生经历作图—度量—计算—推理等过程，能让学生感受到比值与角度这两个变量之间存在函数关系，从而获得数学基本活动经验. 这样的教学过程能加深学生从函数的角度认识正切，能为学生以后更深入地学习三角函数打下基础，从而提升学生的数学素养.
3. 运用概念，深化理解
例1 如图5所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，请求出∠A，∠B的正切值.观察计算结果，你有什幺发现？
变式1 在例1的条件下，CD是AB边上的高，尝试用不同的方法求∠ACD的正切值.
变式2 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=，求AC和AB的长.
归纳总结：互余的两个锐角正切值互为倒数；正切值可以借助定义直接求解，也可以用等角转换来求解；题目中已知正切值时，可以将其转化成比值来解题.
例2 在等边三角形ABC中，AB=6，求tanA的值.
变式1 tan60°=_______，tan30°=_______.
变式2 tan45°=_______.
让学生体会到要解决正切问题，需要构造直角三角形，作垂线是常规作法.
设计意图 通过例题教学，深化学生对正切函数的理解，让他们掌握解决相关问题的基本策略，提升分析问题和解决问题的能力，渗透数学模型思想.
4. 知识梳理，小结提升
略.
回顾反思
1. 在经历中生成概念
正切作为初中阶段研究的最后一个函数，相较于之前研究的函数，它更加抽象，学生无法找出锐角度数与边的比值之间明确的对应法则，这种抽象性学生也无法用已有的符号进行表示，加上函数概念本来就具有抽象性，这就给学生带来了巨大的认知困难.
这节课设计了两次操作活动. 教学伊始，教师从学生熟悉的斜坡入手，引导学生思考如何刻画斜坡的倾斜程度，如何想到锐角与两条边的比值存在关系，如何刻画这样的关系.在学生操作的过程中，教师穿插问题引导，让学生在自我探究的同时，也能有方向可寻. 教师在教学过程中故意放慢正切概念的形成过程，让学生充分经历操作、观察、思考、推理等活动，以加深学生对概念的感悟，理解正切的本质. 当学生经历了整个探索过程，发现了锐角角度与对边、邻边的比值是函数关系后，教师再介绍正切的概念和符号，就变得水到渠成了.
2. 在交流中促进发展
数学课中的活动必须要体现思维的训练，因为数学是一门启迪学生智慧的学科. 时下的课堂不缺学生的参与，但更多的是表面热闹，而深度参与不够. 本节课以生为本，随着内容不断深入，教师以问题串的形式将学生刚开始的积极参与，逐步引导为深度思考. 其中的每个问题教师都会反复斟酌，选择最恰当的方式，帮助学生“搭”思维的脚手架.
当然，本节课教师也给予了学生充分交流和表达自己的时间与空间. 在每一次学生发言时，教师都认真倾听，并及时给予肯定，让学生敢于表达自己的想法，同时寻找学生思维中的闪光点，以问题的形式，加深学生的思考. 在课堂中，教师营造良好的数学研究氛围，让学生在交流中发展能力，增长智慧.
3. 在过程中渗透思想
“锐角三角函数”这一章涉及很多数学思想，教师若能在教学过程中进行适当渗透，必能达到事半功倍的效果. 例如本节课的教学内容能帮助学生认识“数形结合”思想——在具体的问题中，教师引导学生借助已有的图形来分析边与角之间的关系，在特殊的情况下，能构造直角三角形来辅助解决问题，将正切函数与直角三角形紧密联系在一起.
本章内容亦是培养学生符号意识的理想材料. 要想让学生接纳并理解一个数学符号，必须让他们体会到使用这个符号的必要性和优越性. 在本节课中，学生自主探索并发现锐角度数与两直角边的比存在函数关系，但这个关系却不能被准确表达. 于是教师引导学生类比分数表示除不尽的数、π表示圆周率、根式表示开方开不尽的数，得出这里也需要用一个符号来表示这两者之间的函数关系，从而让他们体会到符号引入的必要性. 在后续问题的解决过程中，学生也能体会到用这样的符号表达正切函数，非常方便、简洁，能体会到符号的优越性.
参考文献：
［1］黄林娟. 初中《锐角三角函数》教学现状调查及研究［D］. 杭州师范大学，2017.
［2］刘一凡，陈算荣. HPM视角下初中“正切”概念教学设计［J］. 上海中学数学，2020（11）：13-15.
［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.
［4］李东. 经历与思想并重——“正切”教学实录与反思［J］. 中学数学月刊，2020（09）：1-3+6.
作者简介：罗尉（1989—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作，曾获江苏省青年教师基本功大赛一等奖.
