朱徐立 徐 隆 苏 骑 吴虹琼
（1 厦门城市职业学院机械与自动化工程系，厦门 361000）
（2 美甘齐动（厦门）物料输送工程股份有限公司，厦门 361000）
（3 厦门理工学院软件工程学院，厦门 361000）
文 摘 冶金法制备多晶硅过程中，通过对不同退火温控方案进行数学建模，探求优化的退火理论温度控制函数与曲线。数学模型表明，对硅铸锭直接进行保温，依靠自然热平衡退火，会使内部应力大于产生位错的临界应力；采用加热元件对硅铸锭适当加热保温可减缓降温速率。通过比较，选择较低的退火温度1 236℃和较短的退火时间8.52 ks作为试验退火温控方案。试验验证表明，该退火方案得到的多晶硅铸锭目视裂纹较少，少数载流子寿命与电阻率具有明显优势。
0 引言
在冶金法（物理法）多晶硅铸锭的提纯中，多晶硅铸锭内部热应力的大小和分布与晶体缺陷息息相关，是影响产品质量的关键因素，并最终影响光电转换效率。通过温控进行热应力的控制涵盖了定向凝固与退火全过程，退火过程的工艺甚至对铸锭的成功与否起决定性作用。定向凝固完成后，如不作任何热处理，直接放由铸锭炉的炉温自然降至室温拆炉，硅铸锭内部冷热不均现象严重，上下表面的温度差异很大，可达380～430℃［1］，造成热应力增大［2-3］，极有可能产生大量位错，甚至使铸锭碎裂［4-5］。因此，合理而周全的退火措施是保证铸锭成功的必要手段，进而减少热胀冷缩现象，不但能避免裂锭，还能改善晶体生长和排列条件，在一定程度上降低位错概率。
退火工艺因定向凝固炉的不同而各异，大多数需要依据经验通过多次试验或试生产来制定［6-7］。对多晶硅铸锭退火过程的理论研究多是进行定性分析，而定量分析特别是退火过程的数学模型方面的研究还比较少，本文通过建立数学模型，可以方便地改变工艺参数，寻求合适的工艺方案，对减少试验次数、指导生产实践和降低成本有着重要的理论依据和参考价值。
1 数学建模
从节能、控制简便与降低热应力的角度出发，提出以下两种退火温控工艺进行数学建模分析：第一种退火工艺是在定向凝固结束后，在硅铸锭顶部、底部、侧壁均进行良好的绝热保温，使铸锭内部温度自然平衡达到一致的退火温度后，再缓慢降温至室温（该方案主要作为参照目的）；第二种退火工艺是凝固完成后，利用炉体安装的加热元件，对硅铸锭进行适当补热，使铸锭内部热平衡过程更加舒缓。
1.1 针对第一种退火工艺的建模
退火工艺过程的数学描述为：设凝固完成后时间点τ＝0，此时硅铸锭顶部初始温度为ta0，底部初始温度为tb0，由于凝固完成，相变过程结束，没有内热源产生，高低温面的热传导使退火温度tAnn介于ta0与tb0之间，因此，硅铸锭中必存在一个t＝tAnn的等温面SAnn，并设该面高度为yAnn（图1）。
图1 退火初始温度分布Fig.1 Distribution of initial annealing temperature
由于ta0降至tAnn与tb0升至tAnn的时间相等，该过程满足一维瞬态热传导微分方程，有
式中，a为热扩散系数。
满足边界条件
式中，τAnn为退火时间；H为硅铸锭高度；λ为硅铸锭热导率。
1.2 针对第二种退火工艺的建模
从缓解退火过程中的热应力考虑，凝固完成后，用炉内加热元件对硅铸锭适当补热，使铸锭温度趋于一致的过程放缓，同时退火温度得到提高。设该补热功率为qa，该过程的数学描述同式（1），仅边界条件改变为
2 数学模型求解与讨论
2.1 第一种退火工艺数学模型求解
求解偏微分方程（1），除了式（2）定义的边界条件，由文献［8］可知，硅铸锭内部温度分布沿y方向服从抛物线t（y）分布。由于ta0、tb0初始值一定，在良好绝热条件下，热平衡后的tAnn为唯一确定值。对式（1）采用拉普拉斯（Laplace）变换，有
式中，s为Laplace算子。
式（4）的解为
查拉普拉斯变换表［8］，经过拉氏反变换，得到式（1）的解，有
于是得到退火温控方案1的数学表达式。
2.2 第二种退火工艺数学模型求解
同理，可求解式（1）（3），得到的解见式（7）。
不同的是，式（6）只需要代入ta0、tb0、H等待定的已知条件，即可推导出该条件下tAnn和τAnn的值，而式（7）不但包含上述待定值，还包括补热功率qa这个待定参数，且tAnn和τAnn均为qa的函数，求解式（7）需要试算大量的qa值，过程繁琐。因此可以基于式（7）利用图像法求解。以ta0＝1 400℃，tb0＝1 000℃，H ＝0.5 m为例，可绘制qa关于tAnn和τAnn的函数图像，图2中，tAnn曲线与τAnn曲线分别有‘2’、‘3’两个交点，即得到两个退火方案。方案2：tAnn＝1 236℃，τAnn＝8.52 ks，qa＝5.9 kW；退火温控方案3：tAnn＝1 351℃，τAnn＝11.283 ks，qa＝10.3 kW。
图2 退火温度与退火时间的函数关系Fig.2 Function relation between annealing temperature and annealing time
2.3 求解结果讨论
综合文献［9-10］的研究和工程经验，认为多晶硅晶体内部区域应力＞16.5 MPa时，该区域出现大量位错的概率较大，当应力≥42 MPa时，则极可能出现可见的明显裂纹。本文将16.5 MPa作为硅铸锭许用应力临界值，因此，tAnn与τAnn的取值均受许用应力（16.5 MPa）的约束，退火过程的热应力必须低于该值。
在第一种退火工艺中，同样令ta0＝1 400℃，tb0＝1 000℃，H＝0.5 m，代入式（6）求解得tAnn＝1 118℃，τAnn＝6 980 s，作为退火温控方案1。在ProE软件中进行建模，硅铸锭宽度W ＝1 m，H ＝0.5 m，导入有限元软件的Transient Thermal与Structural模块进行计算，设置计算参数与边界条件：多晶硅的杨氏模量E ＝190 GPa，剪切模量G ＝89 GPa，泊松比μ＝0.172，以 tAnn＝1 118℃为计算终了温 度，以τAnn＝6.98 ks作为计算时长，求解热应力，获得退火全程铸锭最大热应力的变化曲线（图3）。
图3 退火过程中硅铸锭应力变化曲线（方案1）Fig.3 Stress variation curves during annealing in silicon ingot（method 1）
很明显，图3中大部分时间内，热应力已超过临界值（16.5 MPa），最大热应力值为23.8 MPa。硅锭依靠自然热平衡进行退火，热应力较大，有大概率形成大量位错，甚至裂纹，该方案在理论上不可取。
同样的，对退火温控方案2和3进行数值分析，所获得的热应力变化曲线见图4。
图4 退火过程中硅铸锭应力变化曲线Fig.4 Stress variation curves during annealing in silicon ingot
图4可以看出，方案2产生的最大热应力为13.72 MPa，方案3为13.6 MPa，均未超出临界值。将以上3种求解结果汇总于表1。
表1 三种求解结果的比较Table.1 Comparison of three solution results
一般来说，延长退火时间可以减少热应力，但过长的退火时间会降低生产效率，同时也增加能耗。虽然方案2的最大热应力略大于方案3，但退火时间和能耗明显降低，因此方案2为比较合理的理论退火方案。
3 实验
实验采用3N级多晶硅原料，使用本课题所研发的环形加热铸锭炉［11］进行铸锭与提纯。在凝固完成后分别采用上述方案1～3进行退火，比较所铸造的硅锭并检测主要指标。
3.1 实验结果
定向凝固结束后，经历3种不同退火方案后，得到的硅铸锭剖面如图5所示。可以看出，有贯穿硅铸锭上下底面的深层裂纹（退火方案1）；采用退火方案2，没有明显的目视裂纹；而退火方案3在剖面右半部分则出现了局部浅表性裂纹。
图5 硅铸锭剖面Fig.5 Section of silicon ingot
3.2 分析与讨论
通过理论计算可知方案2、3全过程硅铸锭的热应力均未超过临界值，但在退火过程末期［图4（a）时间≥7 ks］，方案2的热应力曲线有明显的大幅下降，因此，退火方案2对退火过程末期有更好地应力疏解作用。按照理论计算，退火方案3热应力不超过临界值，但得到的硅铸锭则产生了明显的浅表性裂纹，经过分析，推测造成退火方案3中硅铸锭出现裂纹的可能原因有以下两种。
（1）试验使用的本课题研发的铸锭炉（参见文献［11］中图7），该炉采用的是加热装置环形布置的方案，根据文献［11］的研究，为了节能和加强定向凝固时的对流传质，加热装置并未全面均匀布置。但由于硅铸锭本身热惰性的存在，在退火时间较长的情况下，环形加热形成的补热热场与理论情形（一维热场，温度梯度垂直向上）有一定偏差，造成对热应力的疏解较弱。
（2）温度传感器设置于铸锭炉上、下表面及侧壁位置（硅铸锭内部无法布置任何传感器），方案3的补热强度很大，在退火时间较长的情况下，根据传感器采集到的信号，自动控制系统“误认为”硅锭整体已经达到温度均匀，进而停止补热，而此时硅铸锭并未达到温度均匀，内部热应力还比较大。
通过在硅铸锭剖面上钻孔取样，取4个取样点（Sampling points）的检测值平均，作为该铸锭的检测指标，得到不同退火方案下的硅铸锭主要指标见表2。
表2 不同退火方案硅铸锭检测指标Table.2 Testing index of silicon ingot with different annealing schemes
由表2可知，不同的退火方案下，磷、硼以及主要金属杂质的含量基本相同，这是由于提纯杂质主要依靠定向凝固过程的分凝效应［12］实现，退火过程对杂质提纯影响极小。方案2的少数载流子寿命和电阻率指标最优，说明退火处理减小热应力有利于上述两种指标的提高。此外，方案1采用自然降温退火，因此能耗值最低，方案2、3采用补热退火，能耗均高于方案1，其中，方案3退火时间最长，能耗最高。
4 结论
经过对退火工艺的数学建模与求解，得到如下成果与结论：定向凝固完成后，须经历退火过程以降低硅锭顶、底面温差造成的内部热应力，经过理论推导，获得3种退火温控方案：tAnn＝1 118℃，τAnn＝6.98 ks；tAnn＝1 236℃，τAnn＝8.52 ks，qa＝5.9 kW 以及tAnn＝1 351℃，τAnn＝11.283 ks，qa＝10.3 kW。从热应力控制、节能和提高生产率的角度考虑，方案2在理论上比较合理。通过实验，该退火方案得到的多晶硅铸锭目视裂纹最少，少数载流子寿命与电阻率则明显优于方案1和方案3。本文推导的数学模型可以采用不同工艺参数代入求解，为冶金法提纯多晶硅的退火工艺的制定提供重要的理论参考。
