周婷婷
摘要六年级数学总复习走出机械训练的枯燥，走近数学思想方法，走进数学学科核心素养。在总复习采取难点问题跨年段结构化学习，帮助学生将知识点连成线、铺成面、构成体，形成关联整体紧密系统的结构，重点培养学生在结构化过程中学科应用思维和创新思维能力。将小学教学不同学年跨度中涉及的碎片，进行结构化整合，经历种子知识，生长问题、发展问题三个阶段，鼓励学生大胆猜想、亲自操作、认真计算、严谨验证、清晰表达。在实现教学结果目标的过程中，重在实现是数学学科应用思维和创新思维。
关键词 结构化教学 思维灵活性 应用思维 创新思维
中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.28.049
LetStructuredReviewBecomethe"Booster"ofApplicationInnovation
——DiscussiononstructuredreviewofthefinalproblemofplanefiguremeasurementcompiledbytheMinistry
ZHOU Tingting
（High School Affiliated to Nanjing Normal University Jiangning Campus， Nanjing， Jiangsu 211100）
AbstractThe sixth grade mathematics general review walked out of the boring mechanical training， approached the mathematicalthinkingmethod，and entered thecoreliteracy ofmathematics discipline.Inthe generalreview，cross year structured learning of difficult problems is adopted to help students connect knowledge points into lines， surfaces and components， form a closely related overall and systematic structure， and focus on cultivating students’ applied thinking andinnovative thinkingability in the structured process. The fragments involvedinprimary school teachingindifferent academic years are structurally integrated， and go through three stages： seed knowledge， growth problems and development problems. Students are encouraged to guess boldly， operate personally， calculate carefully， verify rigorously and express clearly. In theprocess of achieving the goal ofteaching results，the emphasis is on therealization of applied thinking and innovative thinking of mathematics.
Keywordsstructured teaching； thinking flexibility； applied thinking； innovative thinking
结构化教学是指从知识的结构体系和学生的认知结构出发设计、组织教学，以完善和发展学生原有认知结构为目的的教学。因此，分析、解读教材的内容分布、结构体系也是本书要介绍的重要内容。有从一个知识点扩散到整个教材体系编排的研究，也有从整体知识逐步细化到某个知识点的研究；有从横向研究同一内容在不同版本教材中的编排异同研究，也有对苏教版教材近几年内容调整的研究；有相同知识点在不同年级的对比研究，也有对相近知识点在同一年级的分析、研究。[1]
基于以上认识，探索结构化教学在总复习中的应用，帮助学生巩固知识的同时培养数学学科应用思维和创新思维能力。以苏教版六年级下册平面图形的测量总复习第12题为例，它是平面测量问题的在小学阶段的压轴问题。这个问题以第一学段正方形纸片摆放掌握初步的测量、识图、画图技能为起点；以第二学段测量、识图和画图的基本方法作为解决问题的多种策略；以解决部分长不变，面积最大的问题作生长点，向第三学段通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形的性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法进行过渡。[2]
从教材结构分析研究部编版三年级下册、四年级下册、六年级下册设计编排中关联内容。从新课程标准确定关联内容的六个层次学习目标：（1）学生理解题意，画图的策略解决问题；（2）列举符合条件的长方形，通过列表有序排列；（3）在观察、比较的基础上，发现长和宽变化时，面积的变化规律，猜测问题的结果；（4）寻找验证结果是否正确；（5）长和宽不限于整厘米数时，面积何时最大；（6）部分周长不变时，面积何时最大。依据教材编排和新课程标准建议，在总复习阶段教师的备课视野跨度大，连贯性强，将有着共同数学本质的知识建构学习框架，形成包括知识连贯、年级连续、经验连贯在内的整体结构，使得总复习课堂成为推进知识向深度建构，推进学生思维深度发展的平台。[3]
在总复习阶段学生在结构化学习活动中习得结构化学习的经验，实现知识碎片的串联、结构、内化，在结构活动中用结构化的思想方法自主学习，获得深刻的数学体验。结构四个关联问题，巩固前四个结果目标，实现第五第六个结果目标。将六个知识点结构化、系统化，在教学过程中突出培养学生学科应用和创新思维。
1长程把握，找准起点
起点问题：三年级下册第六单元长方形和正方形的面积单元练习第13题：在图中画出几个周长是20厘米的长方形或正方形，并分别计算他们的面积。（每个小方格表示1平方厘米）
关联复习：周长是20厘米的长方形或正方形（边长取整厘米数），记录长、宽，并分别计算它们的面积，完成下列表格。观察每一组数据，你有什幺发现？
在复习中完成第二个、第五个层次目标：列举符合条件的长方形，通过列表有序排列；直观感受周长相同的长方形或正方形，长宽的相差和面积大小的关系，获得初步的数学活动经验。这个逐渐深入猜想的过程，对于四年级的学生有困难，对于六年级的学生问题非常有魅力，总复习阶段鼓励学生循着思路寻找一般性规律，助力学生用函数解决多边形的面积极值问题，对函数的最大值最小值有直观的知识经验。[4]在复习过程中立足种子问题经验，加速种子问题生长，生成两个深度认识。
（1）根据22÷2÷2=5.5厘米，长方形成为正方形时，面积最大为30.25平方厘米。
（2）周长的四分之一作为边长的正方形面积最大。
在总复习阶段以起点问题为种子题，鼓励学生大胆抽象出已知周长，求面积最大时的一般规律，分小组和班级集体两个层次的交流，进一步巩固图形的测量和几何初步，借助变化题培养学生思维灵活性，提升学科应变思维，培养创新思维。
2前连后延，触发思维
四年级下册第三单元三位数乘两位数单元练习思考题，用0、1、2、3、4这五个数字组成一个两位数和一个三位数，要使乘积最大，应是哪两个数？要使乘积最小呢？在复习过程中多种方法孤立思考，多种方法结合比较，结合种子问题和生长经验，获得五个思维碎片。
（1）先确定最大的数字和第二大的数字分别在两个数的最高位上，再考虑42×31和41×32的大小，0最后放在两位数的后面，计算两组积的大小再比较。
（2）画图法，乘积最大的情况画出类似小写字母n右下角加一横的形状，将数字按从大到小从起笔开始依次摆好，最后将两行的数字用乘积形式书写出来，得到320×41和32乘410乘积都是最大。乘积最小的情况画出形如大写字母N右上角加一横的形状，从小到大从起笔开始依次摆好，最后将两行的数字用乘积形式书写出来。
（3）0除外，剩下四个数字组成两个两位数，这两个两位数的和是不变的，那幺乘积最大这两个数就应最接近，和已知周长，求面积的规律异曲同工。谁有发现要补充？
（4）五个数里面有0的，寻找起来很方便。比如0、2、6、8、9这五个数字组成一个两位数和一个三位数，乘积最大算式：860×92或86×920；乘积最小算式：690×28或69×280。
（5）根据规律可以编口诀“和定差小积大，和定差大积小”加快解决问题的速度。
在总复习阶段引导学生以此思考题为中介，从数的运算角度解决问题，结合前两个几何问题的直观感受，深刻感知计算和几何也有深层次的结构关系，对华罗庚先生赞不绝口的数形结合观加深个体感悟。借助这个发展型问题实现第三个、第四个层次目标：在观察、比较的基础上，发现长和宽变化时，面积的变化规律，猜测问题的结果；寻找验证结果是否正确；通过对五种思维碎片比较、分类再结构优化，肯定学生对问题进行代数和几何这两个不同角度的审视，自主获得进阶的探究感悟，提升自己学科思维水平，激发数形结合解决问题的学科体验，深度体验直观的图形测量中的一般规律和抽象的代数的运算中相辅相成。在实现结果目标的同时，着重培养学生学科应用意识和创新意识。[5]
3直观比较，循环催生
六年级下册平面面积测量总复习第12题：六年级数学下册平面图形的测量总复习第12题：用16根1米长的木条靠一堵墙围一块长方形菜地，怎样围面积最大？小组合作，用16根小棒围一围，算一算，把结果填入下表。如果用24根这样的木条来围，怎样围面积最大？用53根这样的木条来围，怎样围面积最大？
这里的编排，将抽象的数学知识和生活实际紧密相连，突显数学知识的实用性和应用价值。陶行知先生说：做是发明，是创造，是实验，是建设，是生产，是破坏，是奋斗，是探寻出路。学生先从已有的经验出发，利用和定差小积大的经验，或从一一列举的策略出发，经过独立记录、理性分析数据，在结论冲突中回溯寻找思考过程的异同，思辨思考逻辑中细微差别，甄别逻辑的合理性。学生在结合小学三年级种子问题、生长问题、尝试解决发展变化的问题，在结构化学习过程中利用经验和应变去合理解决新问题。实现结果目标的过程中进一步培养数学的应用意识、发展创新思维能力。在复习过程中正视思维偏差，正视错误解决方法，仔细理解问题中出现思维偏差的信息，经历以下思维迭代升级的过程。
（1）通过面积最大的规律直接计算的，居然和列表的结论不同。
（2）一一列表找到的情况确实比之前的面积计算方法得到的结果大。
（3）一条边不用材料，只有三条边用材料，而之前的问题是四边都用材料的面积大。
（4）因为墙的存在，一条长边和两条短边上使用材料，两条短边一样长，可以当成一个整体长度，问题能转化为已知一半材料长度，长方形何时面积最大。
（5）16×2=32（米），32÷4=8（米），18-8=10（米），8÷2=4（米），8×4=32（平方米）。这样的解决思路和一一列举的解决思路完全一致，结论完全相同。
（6）可以根据规律可以把墙面看作镜面使用“和定差小积大，和定差大积小”的口诀，加快解决问题的速度。
在总复习课堂根据课堂生成资源，及时展示策略异同和错误过程。组织学生仔细观察分析问题情景变化的含义，对思维最近发展区产生的两种不同策略辨析，着重分析错误思路中理解偏颇信息，找出回归正确逻辑的关键，借助求虚拟正方形面积和一一列举实现殊途同归。完成第五、第六个学习目标：长和宽不限于整厘米数时，面积何时最大；部分周长不变时，面积何时最大。在学习目标实现的过程中，学生回到种子题抓住新问题的变化、应用经验合理转化，为在现实生活中部分量一定，求极值的问题积累基本模型。在学习过程中强化应用意识和创新意识，培养应用能力和创新能力。[6]
平面测量问题的压轴题的结构化复习课，以一个压轴难题回到整个小学阶段编排的研究，细化到不同年级的掌握要求，以六年级总复习课堂为载体，进一步发挥教材的整体和系统编排的初衷，引领学生体验知识的发展过程和自身的成长过程，以学生已有经验为基础，观察变化，寻找关联、领悟思想，在总复习中深度感受数学学科的应用和数学创新思维的魅力。进一步结构数形结合的认知，通过比较和思考，初步了解代数运算和几何直观之间的一些巧妙联系。[7]一方面，学生进一步认识到现实生活中蕴含大量数量和图形有关的问题，这些问题有时还可以抽象成代数问题，培养数学教学过程中的应用和创新意识。另一方面，学生大胆走出总复习机械训练的误区，走进数学思想反哺总复习的实效性，自信走近第三学段，储备初步数学活动经验和构造模型解决问题的数学思想。在结构化总复习复习备课时，教师需要整体关注起点连续、元素连续、目标连续，从教材编排跨度中找到学生的数学逻辑经验起点，相关联的知识先行有序整合，学生在总复习学习活动中，学生能对旧知识的认知更加清晰、稳定、灵活，对问题的延伸拓展更加顺利，对思想方法的感悟更加深刻，形成更加紧密深刻的知识结构。学生在面对第三阶段学习任务和未来生活实际问题时，更容易大胆尝试想法、创新解决问题。
参考文献
[1]颜春红.学生数学整体思维培养[M].江苏凤凰出版社，2017（12）： 1-3.
[2]义务教育数学新课程标准（2011年版）[M].人民教育出版社，2021（7）：20-21.
[3]颜春红.学生数学整体思维培养[M].江苏凤凰出版社，2017（12）： 147-149.
[4]史宁中.基本概念与运算法则[M].高等教育出版社，2014，（7）：16-21.
[5]史宁中.基本概念与运算法则[M].高等教育出版社， 2014， （7）： 210-211.
[6]义务教育数学课程标准解读[M].北京师范大学， 2020， （8）： 105-1133.
[7]俞正强.种子课[M].教育科学出版社，2014（11）：40-46.
