庄美雅 蔡福山
一、在直观操作与抽象算法中，助力学生推理能力的成长
“加与减（一）”单元的知识内容包括：“买铅笔（十几减9）”“捉迷藏（十几减8）”“快乐的小鸭（十几减7，6）”“开会了（比较意义下的减法）”“跳伞表演（十几减5，4，3，2）”“美丽的田园（解决问题）”，包含了4节计算教学和2节解决问题教学。它是在一上学习“20以内的进位加法”的基础上，集中学习“20以内的退位减法”。根据低年级学生的特点，教学中我们要让学生在直观中理解算理，掌握抽象的算法，更要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程。
1. 借直观操作表抽象算法，为理解算理提供思维支撑。
低年级计算教学主要是借助主题图、数学工具，以及简单的生活经验、数学活动经验等，经历操作实践活动，来直观理解算理。为了帮助学生更好地理解算理，教材系统地渗透了直观模型（小棒、计数器、数线等）在本单元各个课时使用。“买铅笔（十几减9）”作为单元起始课，起着种子课的引领作用。教学中，在学生熟悉的买铅笔的情境中解决“还剩几支铅笔”的问题，学生根据已有的“减法的意义”这一知识经验，判断出“整体中去掉部分求剩余部分”用减法15-9计算。在解决15-9时，引导学生边摆小棒边描述自己的思路：算法1，一根一根地拿走9根，还剩6根；算法2，把9根分成5和4，从15根中先去掉5根，剩10根，再从10根中去掉4根是6根；算法3，将15根小棒分成10根和5根，从10根中去掉9根，还剩下1根，剩下的1根和原来的5根合起来共有6根；算法4，“想加算减”，想到了9+6=15，直接算15-9=6。学生借助小棒的操作，经历了数的“分拆”“重组”来理解算理。前3种算法学生利用对“减法的意义”的理解来进行操作，而算法4“想加法做减法”，是建立在学生已有的知识经验基础上的推理过程，体现了加法和减法互为逆运算的思想。在这些算理的理解过程中，学生不仅掌握了十几减9的计算方法，更重要的是经过一步一步地严密逻辑推理，体会到每一种算法的形成都是一次推理过程。
2. 借直观操作释抽象算法，为验证算理提供有力依据。
在算理剖析的过程中，一方面要以操作过程、经验推理来促进学生对算理的直观理解；另一方面，也要重视由算法向具体操作的反思，这样双向互通式的形象与抽象的结合，才能帮助学生真正理解算理，构建算法。
当有了一定的运算经验时，有些学生可能不需要借助学具就能算出得数。但学生能得出正确的计算结果，并不能说明他们真正明白算理。这时，可以让学生在得出结果后再利用小棒摆一摆，把自己的想法通过学具的操作和思维的操控，验证其正确性，从而再一次加深对算理的理解。本单元的第3个课时“快乐的小鸭（十几减7，6）”中，教材考虑学生已具有一定的退位减法学习的基础，编排上与前两课的设计略有不同，按照“计算—解释—应用”的思路进行编排。教材呈现了3种算法，并用结构图的形式将数的分解的过程呈现出来（图1），紧接着再让学生借助小棒解释3种算法，进一步理解算理。
通过这样的教学，学生能将抽象的分析结果通过直观验证这个简单推理的过程表述出来，能领会“为何会得到这样的计算方法”。在思辨中，学生的推理能力得到了相应的发展。
二、在类比算法与归纳算理中，促进学生推理能力的发展
1. 注重算理类比，融通多样算法的本质。
低年级学生容易看到一样事物便联想到其他事物，没有规律可循的，却可以理解问题的实质。这种思维过程就是数学上常用的类比推理，即依据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同。为突破计算难点，教材采用小棒、计数器、数线及结构图等几种模型帮助学生理解算理，掌握算法。小棒是学生比较熟悉的一个直观模型，因此，教材在初次探索算法时，都以小棒模型为主，而后在“十几减9”中出现了计数器，在“十几减8”中出现了“数线”，在“十几减7，6”中出现了结构图。对于新的直观模型，教学中我们如何引导学生架构起新知与旧知之间的关联，实现知识之间的类比推理，从而掌握其算法多样化之间的共同本质，更透彻地理解算理呢？
计算15-9中，在学生借助小棒计算出结果后教材出示了计数器，学生有了摆小棒的经验“从15根小棒里减去9根，零散的5根不够，要把1捆拆开变成10根，才能再减”，很容易推理出“从计数器上拨走9颗珠子，个位上的5颗珠子不够，要把十位上的1颗珠子变成个位上的10颗”，融通了摆小棒与计数器之间的关系。计数器能更好地体现“位值制”，凸显“借1当10”，更加接近抽象的运算本质，也是以后学习退位减法笔算的算理根基所在；而“数线”可以很好地体现数序，体现多种数数的方法，可以记录计算的过程和结果。在“十几减8”中，教材呈现两种数线模型（图2），左图呈现的是从13开始一个一个往回数的过程，对应了一根一根减小棒的经验；同样的右图是分段数，先往回数3个，再往回数5个，学生不难类比推理出与前面的算法2道理一样。学生在寻找两种不同学具操作的共同之处的过程，就是他们透过现象发现本质的过程，思维真正经历了由浅入深的过程。
2. 引导算法归纳，促进多样算法的优化。
从认知心理学的角度分析，不同的计算策略在一定程度上反映了儿童思维发展的不同水平，但学习还有社会性的一面，要让学生从与别人的交流中吸取好的“营养”，引导学生进行自觉比较、批判，从而建立起自己的计算方法。在本单元退位减法的教学中，当学生展开思路呈现不同算法后，可以一起进行有针对性的分析梳理：从算法上看，“破十法”“平十法”“拨计数器”等方法其实都基于同一种想法，那就是个位不够减，需要“破十”的方法。从而帮助学生理解退位减法中“退1作10”的算理。从算理上分析，20以内退位减法就是从“减法的意义”和“加减法之间的关系”这两个角度分别进行思考的，相比而言，前者思考的过程比较复杂，学生至少需要进行两步的思考，但它能通过直观操作来理解算理，形成算法。后者虽然比较便捷，但与学生对“20以内进位加法”的熟练程度有关。在保证学生自主选择的前提下，可进一步引导学生熟练掌握“想加法算减法”的方法，让不同学生在计算方法上得到不同的发展。
三、在语言表达和拓展应用中，助推学生推理能力的提升
1. 语言表达让推理由内至外。
学生推理能力的发展与语言表达也有密切的关系，良好的语言表达能力能使学生的思考过程变得清晰而有条理。学生在讲述自己的观点时能把内部的思维语言转换成外部的交际语言，这种转换势必再次促进个体的思考。因而，在计算教学中，我们要注重培养学生将自己的计算过程借助学具用语言清晰地表达出来，教学中我们可以不断地让学生表达“先算什幺，再算什幺”或“因为什幺，所以什幺”的思维推理过程。如此，思考才能更有条理更清晰，同时还能发现思维活动中的问题或错误，及时给予纠正。
2. 拓展应用让推理由点到面。
推理能力大多数时候都是在知识被运用的时候提升的，在运用的过程中意味着我们要从头到尾地思考问题，这样也就能在知识运用的过程中培养推理能力。如教学“十几减9”，通过例题和“做一做”的教学，得到代表性的算式：“15-9=6，14-9=5，16-9=7”，同时引导学生比较得出这三个算式的共同特点——都是十几减9；再让学生说说“十几减9”还有哪些算式并进行计算，接着让学生把“十几减9”的9道算式按规律进行排列整理。一年级学生的思维虽然仍处于以形象思维为主的阶段，但已经具备了一定的观察、比较、综合的意识。我们可进一步引导学生从上到下、从下到上、从左到右等方式观察这9道算式的排列特点，不但可以发现相邻算式的排列特征，还可以发现“十几减9”的计算与10-9有密切的联系，即“十几减9”的计算都可以转化为“10-9+几”进行计算。同样，学生也能类比推理得出：“十几减8”可转化为“10-8+几”进行计算等。在这一过程中，学生经历了“仔细观察—举例验证—归纳结论—完善结论”这一使用归纳推理探索规律的过程，不但积累了丰富的数学活动经验，更是发展了合情推理能力。
能力的形成与发展不是一蹴而就的，它是一个循序渐进的缓慢的过程。对于计算的教学，我们要让学生自己悟出道理、规律和方法，并将推理能力的培养有机融合于数学活动过程中。这样不仅可以使学生更好地掌握计算的算理，还可以使他们在今后的学习及生活中可以从容面对各种困难，通过逻辑分析准确判断、解决各种难题。
（作者单位：福建省晋江市梅岭街道希信中心小学 福建省晋江市教师进修学校）
