曲子芳
摘要：本文从概率论与数理统计的学科特点出发，讨论了在课堂授课过程中精选教学案例进行教学。将数学建模思想适时引入，运用功能强大的统计软件，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，更好地提高课堂教学效果。
关键词：概率论与数理统计；教学案例；数学建模；Excel软件
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）09-0143-02
一、引言
概率论与数理统计是从数量角度研究随机现象统计规律的一门应用数学学科。它已广泛应用于物理学、生物学、工程技术、保险业、农业、医学、经济学及军事科学等诸多领域。有些还形成了交叉学科，比如生物统计、数理金融等。概率论与数理统计能更好地满足现代科技人才对随机数学基本知识理论的需求。不仅理工科高等院校，经管类院校也将概率论与数理统计作为本科必修课程之一。如何让学生更好更快地掌握处理随机现象的基本理论和基本方法，本文对概率论与数理统计的课堂教学给出了几点建议。
二、教学方法改革
（一）精选案例教学，提高学生学习兴趣
传统单一的教学模式在激发学生学习兴趣方面会大打折扣。“兴趣是最好的老师”。如何培养学生的学习兴趣，需要将实际生活中的案例引入进来，结合案例进行讲解。通过教师设定的具体真实的场景，让学生自主或分组讨论，最终给出解决问题的方法。案例教学以学生为主，激发学生的求知欲和探索欲。教学案例在选择时注意与专业知识和日常生活结合，突出社会热点等。比如，在第一堂课就可以引用案例来介绍概率论的起源。早在17世纪中叶，法国两位数学家帕斯卡和费马在往来书信中讨论“合理分配赌注问题”时就有了概率论中古典概型的雏形。为激发学生的学习兴趣，可将此问题简化为一个简单案例让学生参与讨论。
案例1 甲乙两人抛掷一枚均匀硬币，若正面向上，甲得一点，反面向上，乙得一点，优先积满3点者拿走所有赌注。假如比赛在甲得2点，乙得1点时被迫终止了，问如何分配赌注才算公平合理？
针对这一案例，可让学生分组讨论，给出他们认为的合理的分配方法，最后再给出帕斯卡和费马的不同解答。帕斯卡：若再掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，将这两种情况平均一下，乙胜，甲乙平分赌注；所以甲应得赌注的3/4，乙得赌注的1/4。费马：结束赌局至多还要2局，结果有4种等可能情况：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。前3种情况，甲获全部赌注，仅第4种情况，乙获全部赌注，所以甲分得赌注的3/4，乙得赌注的1/4。
另外，在讲解基本概念、基本公式及基本理论时，如果也能适时地选取案例，会起到事半功倍的效果。常见案例比如有：生日问题、保险问题、彩民中奖问题、排队等待问题等。教师可根据与之相关的理论知识，编写有关的案例，安排合适的场景，设定问题，让学生参与进来，运用所学理论，最终给出最佳的解决问题的方法。
案例2 某学校有6000名学生，每天傍晚打开水的人较多，开水房经常出现排长队现象，应增加多少个水龙头才能解决这种现象？
首先让学生统计开水房现有的水龙头个数，再调查每个学生在傍晚一般有多少时间占用一个水龙头（如0.5%），最后分析发现每个学生占用水龙头是相互独立的，引导学生联想到中心极限定理。又考虑到每个人有两种情况：占用水龙头和不占用水龙头。占用水龙头的概率是0.005，所以学生是否占用水龙头可以看作是一次独立试验，该问题就可以看作是n=6000的n重伯努利试验。设用水龙头的学生数为X，则X～B（6000，0.005），可以用德莫佛-拉普拉斯中心极限定理解决问题。类似的案例还有餐厅、医院、车站、邮局等服务窗口个数的合理设置问题。
适当选取生动形象的案例辅助教学，可以活跃课堂气氛，加深对知识点的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（二）巧用数学建模，系统掌握理论方法
数学建模是通过对实际问题进行抽象、简化、假设、引进变量等处理后，将之转化为数学问题，建立数学模型，然后运用数学方法及计算机技术进行求解。数学建模中常用模型主要有优化模型、微分方程模型、统计分析模型、运筹模型等，其中的统计分析模型主要是处理随机性问题。在概率论与数理统计教学中引进数学模型会提高学生利用数学工具分析和解决实际问题的思维和能力。数学建模有三个重要环节：首先，建立模型，主要是将实际问题转化为数学问题；其次，数学解答，即利用数学方法对数学问题求解；最后，模型检验，将得到的结论方法再应用到实际问题中。这种思维方式很多学生缺乏，适当地利用数学建模锻炼这种处理问题的思维方式很有必要。实际生活中有许多问题可以用概率论与数理统计结合数学模型来解决。比如，免费抽奖问题、公交大巴车门高度设计问题、商品订货及销售预算问题、捕鱼问题、假设检验、气候预测等。下面列举一个利用概率论与数理统计知识进行数学建模解决实际问题的例子。
例：某商店对某种品牌家用电器的销售采用先使用后付款的方式，规定：使用不超过一年，付款1500元/台；使用超过1年不满2年，付款2000元/台；使用超过2年不满3年，付款2500元/台；超过3年，付款3000元/台。假设电器的使用寿命服从参数为0.1的指数分布，试检验该销售策略是否比正常营销策略有优势？
分析：一般正常销售策略会在进价基础上增加一点额度进行交易，而上述策略中具体一台家用电器的收费是随机的，由使用时间而定，所以想到这是概率论中的一个离散型随机变量，设为Y，为比较合理性，需要计算出每台电器的平均收费，即概率论中关于离散型随机变量数学期望的计算。由此，必须要先确定离散型随机变量Y的分布律，而Y的分布律由使用寿命决定，设为随机变量X，于是给出问题解答：
设使用寿命为X，X服从参数为0.1的指数分布，即X～e（0.1），
于是一台收费Y的分布律为
计算得E（Y）=2727.1，即平均一台家用电器收费为2727.1元。
有了上述结果，即可与以往只单纯提高价格的销售方式相比较，从而选择利益最大化的销售方式。
（三）借用统计软件，使绘图和计算简单、精确
在当前信息数据数量大、范围广、变化快的形势下，传统的人工处理手段无法适应经济高速发展对统计提出的要求，也难以提高数据处理的速度和精度。计算机软件的发展，特别是统计软件的应用，使得在图像处理、统计信息存贮和检索、分析计算等方面有了很大提高。
常用的统计分析软件有SAS、SPSS、Matlab、Excel软件等，其中以功能多、技术先进、使用方便的Excel软件受到青睐。Excel软件是表格式数据综合管理和分析系统，它采用电子表格方式进行数据处理，提供了丰富的函数，可以进行数据处理、统计分析和决策辅助；还具有很好的制图功能。利用Excel软件可以绘制箱线图、假设检验、方差分析、一元线性回归等方面的问题。比如，在利用χ2检验法确定检验问题的p值时，可以利用Excel工作表，单击“插入”，对于弹出的菜单单击“函数”，再对于弹出的菜单单击“CHIDIST”，然后单击“确定”，即弹出对话框。对显示的对话框键入x和自由度df值，即得到p值。对于t检验法和F检验法也有相应的函数可用。另外，在建立方差分析表时，需要计算因素S与误差S时，数据多，公式复杂，计算量很大，利用Excel软件便可快速得到结果，简单方便。
三、结束语
在概率论与数理统计的教学中，采用与实际生活联系紧密的问题来设计教学案例，将实际问题和理论知识联系起来，能促进学生对问题进行深入地研究和思考。探索把建模思想更好地融入概率统计教学的途径或方法，有效提高学生应用概率统计知识解决实际问题的意识和能力。应用统计软件求解问题的教学过程使计算结果在课堂教学中得到即时呈现，软件的图形功能也使实际问题的结论更加直观。总之，在教学过程中灵活运用多种教学手段，通过具体生动的实例把抽象的概念形象化，辅之以现代化教学方式，会极大地提高教学效果。
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