罗胜彬

成为数学解题高手的秘诀是什么？有人说“知识基础必须扎实”。知识基础诚然重要，没有基础肯定不行，但有了基础也未必行。还有人说“必须多做题”。题一定是要做的，但搞题海战术是不科学的，题做多了，会掉入“感性经验解题”的陷阱——做题不是靠思考而是靠记忆。缺乏有效解题策略支持，盲目做题，不但负担沉重，而且会造成思维僵化。笔者从事数学教学二十余年，总结出培养学生解题能力的两大关键：一是培养其心理能力，即遇到难题时，不慌，不乱，不怕。二是培养其思维能力，即要形成有效的解题策略。笔者把培养这两种关键能力的思想总结为“确定必可求”。笔者将结合思维可视化技术来分享这一数学解题思想在数学教学中的具体应用。

初中数学担负着一个重要的使命——帮助学生转变学习方式（主要是思维方式）。由于小学数学知识相对简单，不是特别强调深度理解，很多学生养成了死记硬背的学习习惯（背公式、背定理甚至是背题目），但到了初中，再依靠死记硬背显然难以应对变得复杂和抽象的数学题目，因此初中数学教师必须帮助学生转变解题思维，即从“感性经验答题”转变为“理性思考解题”。但“理性思考”很抽象，不好理解，怎么办？笔者认为思维可视化是较好的选择。因为，它能够将不可见的思维（思考方法和思考路径）呈现出来，使其清晰可见，更易于理解。下面笔者就结合自己的教学实践，谈谈如何将数学解题策略的研究与思维可视化技术进行有效整合，提高数学教学效能。

何为“确定必可求”的解题思想

一些相对复杂或综合性的数学题目，由于条件较多，图形复杂，学生做题时往往会心理慌乱，思维无序，解不出来。如果学生能够熟练运用“确定必可求”的解题思想，则能够较轻松地应对了。那么，到底什么是“确定必可求”呢？

要搞清这个思想，我们首先要理解“确定”这个概念（如图1）。所谓“确定”即明确的、肯定的意思。在数学解题中，“确定”是指确定一个宏观的解题对象。在几何中，这个对象可能是一个确定的、具体的三角形、四边形、圆形等图形，我们称之为“定形”。在代数中这个对象可能是一个确定的、具体的方程、函数等代数关系，我们称之为“定性”。这里要强调的是它必须是一个确定的、具体的图形或关系，而不是一个“类”的概念，如果是一个“类”的概念，就会存在着多种可能性，是无法解的。在初中数学题目中，所有的对象都是确定的、具体对象，所以才一定是可解的。

其次，还要知道如何“确定”？也就是说根据什么条件证明这个解题对象存在或成立呢？答案是“满足这个对象存在的一切条件都可以”。接下来我们来了解“必可求”：哪些是必可求的呢？答案是“跟这个解题对象有关的一切未知条件都是必可求的”。用什么来求呢？并不是用题目中所给的那些条件直接求，如果能直接求的那就不是“难题”了。而是要用给的那些条件去“确定”解题对象，再根据解题对象所具有的特性去解决问题，这就是“确定必可求”。下面，我们举例来说明。

例如，解一道有关三角形的证明题，首先要确定三角形的成立，用什么条件来确定呢？一般用全等思想（结合特殊图形）来确定，既然能满足与另外一个三角形全等的条件，那么这个三角形一定存在，若题干中给出了三条边，那么就可根据“SSS”的全等思想来确定这个三角形；如果是特殊三角形，若条件给出了高和斜边长，那么就可根据“HL”来确定直角三角形。一旦确定了这个具体的三角形，那么此三角形的特性及相关要素就都是可求的，如三角形的边长、周长、面积、角度、角平分线、高线、中线、中位线等都可求了。既然所有的都是可求的，那么要求的条件肯定在可求的之列，所以解题时只要按照“确定必可求”的思想先确定解题对象，然后再根据这个对象的特性去推导出要求的就可以了。

“确定必可求”的解题思想按照华东师大刘濯源教授提出的“六种思考方式”来分类属于“转化思维”，所谓转化思维就是从具体到抽象，再从抽象落到具体的思维过程。从哲学角度讲，就是从个别到一般，再从一般到个别的思考过程。把这种思想运用在数学解题中（如图2），就是根据题干中所给出的条件A1、A2来确定A（也就是我们所说的解题对象），再根据A所具有的特性，推导出A3、A4、A5。这种思维模式在数学解题中应用非常广泛，可以称之为数学解题“第一思维”。

如何应用“确定必可求”的解题思想

下面用一道初中数学综合题（函数与三角形相结合）来举例说明如何在具体的解题实践中运用“确定必可求”的解题思想。

例：如下页图3，已知，是一次函数的图像和反比例函数 的图像的两个交点，求△的面积。

这道题的解题步骤比较繁杂，很多学生遇到这类题时要么感觉无从下手，要么就会思维混乱，乱中出错。但是按照“确定必可求”的思想并结合思维可视化中的鱼骨图（如图4）来解题就容易多了。

解题鱼骨图由三部分构成：中间脊骨为总问题及解题的关键节点；脊骨下方为策略分析过程，主要由“追问策略”来引导；脊骨上方为条件转化（已知→未知）过程。如图4所示本题的总目标为求△AOB的面积，那么根据“确定必可求”的解题思想，只要确定了三角形，与其有关的其他未知都可求，包括它的面积。那么用什么条件来确定呢？这道题中显然要用边长来确定，如何确定边长？确定A、B、C、O四点的坐标即可，B点与O点的坐标已知，那么三角形面积的问题则转化为求A与C两点坐标的问题。如何求出A与C点的坐标？由于A点为双曲线上的一点，那么只要知道反比例函数的解析式即可求出，根据“确定必可求”的思想——一点确定双曲线，已知B点坐标即可求出反比例函数解析式，进而得出A点坐标。C点为一次函数图像与X轴交点，确定一次函数解析式即可求，根据“确定必可求”的思想——两点确定一条直线，已知A与B点坐标即可求出一次函数解析式，进而求出C点坐标。得知A、B、C、O四点坐标可确定边长，进而求出△AOB的面积。

或许你会觉得这样做一道题太复杂，但是题不在多，而在于做透，做透的目的不仅仅是让学生做会这道题，而是要让学生掌握解这类题的有效思考策略。因此，以上看似复杂的分析过程是非常有价值的，按这种方式练习，时间长了，这种思考策略就会被学生“内化”，从而实现脑内画图，那么这个解题过程就不用画在纸上了，而是在学生大脑中快速呈现，进而解题效率大大提高。